Determine a solução dos seguintes problemas de valor inicial.
y'' - 4y' + 3y = 0, y(0) = 1 e y'(0) = 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial de segunda ordem:
Com as condições iniciais:
O conteúdo de matéria aqui é Equações Diferenciais Lineares com Coeficientes Constantes. Vamos precisar achar a solução geral da equação e depois usar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a solução geral da equação diferencial. Para isso, assumimos que a solução tem a forma:
onde é uma constante a ser determinada. Substituindo na equação diferencial:
Dividindo por (que nunca é zero):
Essa é a chamada equação característica.

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes a serem determinadas.

Passo 4

Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar e .
Primeira condição:
Substituindo na solução geral:
Segunda condição:
Primeiro, encontramos a derivada de :
Substituindo :

Passo 5

Agora temos um sistema de equações:
Vamos resolver subtraindo a primeira equação da segunda:
Substituindo na primeira equação:

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

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