Determine a solução dos seguintes problemas de valor inicial.
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial de segunda ordem:
Com as condições iniciais:
O conteúdo de matéria aqui é Equações Diferenciais Lineares com Coeficientes Constantes. Vamos precisar achar a solução geral da equação e depois usar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a solução geral da equação diferencial. Para isso, assumimos que a solução tem a forma:
onde
é uma constante a ser determinada. Substituindo na equação diferencial:
Dividindo por
(que nunca é zero):
Essa é a chamada equação característica.
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes a serem determinadas.
Passo 4
Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeira condição:
Substituindo na solução geral:
Substituindo
Segunda condição:
Primeiro, encontramos a derivada de :
Primeiro, encontramos a derivada de
Substituindo
:
Passo 5
Agora temos um sistema de equações:
Vamos resolver subtraindo a primeira equação da segunda:
Substituindo
na primeira equação:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é: