Determine a solução dos seguintes problemas de valores iniciais:
y'' + y = delta(2 pi(t)), y(0) = 0, y'(0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver uma equação diferencial com condições iniciais. A equação é:
E as condições são:
Aqui, representa a função delta de Dirac em . Vamos precisar entender de equações diferenciais lineares, soluções homogêneas e particulares, além de como lidar com impulsos como a função delta.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação é uma combinação das funções seno e cosseno:
Onde A e B são constantes que determinaremos usando as condições iniciais.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Como o lado direito é uma função delta de Dirac, que representa um impulso em , a solução particular será zero em todos os lugares, exceto exatamente em . Então, a solução geral será a soma da solução homogênea e da resposta ao impulso:
Onde é a resposta ao impulso em .

Passo 4

Aplicamos as condições iniciais para determinar A e B. Primeiramente, quando :
Então, .
Agora, derivamos para encontrar :
Aplicando a condição :
Então, .

Passo 5

Agora, temos a solução homogênea completa:
Para a solução particular devido ao impulso em , usamos a propriedade da função delta, que causa uma descontinuidade na derivada da solução em . Portanto, adicionamos um salto na derivada em . A solução completa fica assim:
Onde é a função degrau de Heaviside que ativa o termo apenas para .

Resposta

A solução do problema de valores iniciais é:
Onde é a função degrau de Heaviside, que garante que o impulso ocorre exatamente em .

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