Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação que descreve como a temperatura ut = uxx + sin x varia no tempo e no espaço dentro do intervalo . A equação é:
Além disso, temos algumas condições para resolver isso:
Condições de contorno:
(temperatura fixa na posição )
(fluxo de calor na posição )
Condição inicial:
(distribuição inicial de temperatura)
Vamos usar conceitos de Equações Diferenciais Parciais e Método de Separação de Variáveis para achar a solução dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos procurar uma solução estacionária 0 = us,xx + sin x , ou seja, uma solução que não muda com o tempo (). Isso simplifica a equação para:
Isso é uma equação diferencial ordinária (EDO) e a gente pode resolvê-la integrando duas vezes.
Passo 3
Integrando a equação us,x = cos x + C1 uma vez, temos:
us(x) = sin x + C1 x + C2
E integrando novamente:
Aqui, e s��o constantes de integração que vamos determinar usando as condições de contorno.
Passo 4
Aplicando as condições de contorno na solução estacionária:
Para us(0) = sin 0 + C1 cdot 0 + C2 = 0 + 0 + C2 = 1 :
us,x(pi) = cos pi + C1 = -1 + C1 = 2
Então, .
Para :
Primeiro, calculamos .
Aplicando :
Então, .
Passo 5
Substituindo us(x) = sin x + 3x + 1 e na expressão de , temos:
Essa é a parte estacionária da solução. Agora, vamos considerar a parte transiente que depende do tempo.
Passo 6
A solução geral u(x,t) = us(x) + v(x,t) = sin x + 3x + 1 + v(x,t) é a soma da solução estacionária vt = vxx e da solução transiente :
Substituindo na equação original:
Isso porque a parte estacionária já satisfaz a equação original.
Passo 7
Agora, vamos resolver a equação da solução transiente:
vt = vxx
Com as condições de contorno homogêneas ajustadas:
v(x,0) = u(x,0) - us(x) = (1 + sin x) - (sin x + 3x + 1) = -3x
E a condição inicial ajustada:
Passo 8
Para resolver X(x)T'(t) = X''(x)T(t) com as condições de contorno T'(t)T(t) = X''(x)X(x) = -lambda e , usamos a Separação de Variáveis. Assumimos que .
Substituindo na equação:
Dividindo ambos os lados por :
Aqui, é uma constante de separação.
Passo 9
Resolvendo as equações separadas:
Para T'(t) + lambda T(t) = 0 Rightarrow T(t) = A e^-lambda t :
X''(x) + lambda X(x) = 0
Para :
Com as condições de contorno:
As soluções não triviais ocorrem para valores específicos de . Encontrando os autovalores e as funções próprias .
Passo 10
As soluções para Xn(x) = sin((2n+1)x2), lambdan = (2n+12)^2 que satisfazem as condições de contorno são:
onde
Passo 11
A solução transiente geral é uma soma das soluções próprias:
v(x,t) = sumn=0^infty Bn sin((2n+1)x2) e^-(2n+12)^2 t
Agora, precisamos determinar os coeficientes a partir da condição inicial .
Passo 12
Para encontrar -3x = sumn=0^infty Bn sin((2n+1)x2) , usamos a série de Fourier com as funções próprias:
Bn = 2pi integral0^pi (-3x) sin((2n+1)x2) dx
Calculando os coeficientes pela fórmula de Fourier:
Isso envolve integração por partes e cálculo de integrais específicas, que resultam nos valores de .
Passo 13
Depois de calcular os u(x,t) = sin x + 3x + 1 + sumn=0^infty Bn sin((2n+1)x2) e^-(2n+12)^2 t , substituímos de volta na expressão de , assim a solução completa é:
Resposta
A solução da equação dada é:
u(x,t) = sin x + 3x + 1 + sumn=0^infty Bn sin((2n+1)x2) e^-(2n+12)^2 t
onde os coeficientes são determinados pela expansão em série de Fourier da condição inicial .