Encontre a solução geral do problema abaixo usando separação de variáveis:
Passo 1
Então, temos um problema de equações diferenciais parciais onde queremos encontrar a solução geral da equação
no intervalo
para
. Esse tipo de problema está relacionado ao estudo das equações de difusão ou condução de calor, e vamos usar o método de separação de variáveis para resolvê-lo. Para isso, precisaremos entender como separar as variáveis
e
e aplicar as condições de contorno fornecidas.
Passo 2
Primeiro, assumimos que a solução pode ser escrita como um produto de duas funções, uma que depende apenas de
e outra que depende apenas de
. Ou seja, vamos supor que:
Passo 3
Agora, vamos substituir
na equação diferencial original
:
Passo 4
Dividindo ambos os lados da equação por
, obtemos:
Como o lado esquerdo depende apenas de
e o lado direito apenas de
, ambos devem ser iguais a uma constante, que chamaremos de
. Assim, temos duas equações separadas:
Passo 5
Vamos resolver a equação para
:
Essa é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem com solução geral:
Passo 6
Agora, aplicamos as condições de contorno para
. Primeiro,
implica que
:
Portanto,
e a solução para
fica:
Passo 7
Aplicamos a segunda condição de contorno
. Primeiro, calculamos a derivada de
:
Então, em
:
Para que isso seja verdadeiro (com
), precisamos que:
Isso acontece quando:
Portanto, os valores pr��prios
são:
Passo 8
Agora, resolvemos a equação para
:
Esta é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem cuja solução geral é:
Passo 9
Juntando as soluções de
e
, obtemos as soluções separáveis:
Passo 10
A solução geral é a soma de todas as soluções separáveis possíveis:
Resposta
A solução geral do problema é: