Encontre a solução geral do problema abaixo usando separação de variáveis:
l ut=a^2 ux x ; (x, t) in(0, L)(times 0, infty) u(0, t)=0=ux(L, t), t in[0, infty)

Passo 1

Então, temos um problema de equações diferenciais parciais onde queremos encontrar a solução geral da equação no intervalo para . Esse tipo de problema está relacionado ao estudo das equações de difusão ou condução de calor, e vamos usar o método de separação de variáveis para resolvê-lo. Para isso, precisaremos entender como separar as variáveis e e aplicar as condições de contorno fornecidas.

Passo 2

Primeiro, assumimos que a solução pode ser escrita como um produto de duas funções, uma que depende apenas de u(x, t) = X(x)T(t) e outra que depende apenas de . Ou seja, vamos supor que:

Passo 3

Agora, vamos substituir X(x) dT(t)dt = a^2 T(t) d^2X(x)dx^2 na equação diferencial original :

Passo 4

Dividindo ambos os lados da equação por 1a^2 T(t) dT(t)dt = 1X(x) d^2X(x)dx^2 , obtemos:
1a^2 T(t) dT(t)dt = -lambda
Como o lado esquerdo depende apenas de 1X(x) d^2X(x)dx^2 = -lambda e o lado direito apenas de , ambos devem ser iguais a uma constante, que chamaremos de . Assim, temos duas equações separadas:

Passo 5

Vamos resolver a equação para d^2X(x)dx^2 + lambda X(x) = 0 :
X(x) = A cos(raizlambda x) + B sin(raizlambda x)
Essa é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem com solução geral:

Passo 6

Agora, aplicamos as condições de contorno para X(0) = A cos(0) + B sin(0) = A = 0 . Primeiro, X(x) = B sin(raizlambda x) implica que :
Portanto, e a solução para fica:

Passo 7

Aplicamos a segunda condição de contorno X'(x) = B raizlambda cos(raizlambda x) . Primeiro, calculamos a derivada de X'(L) = B raizlambda cos(raizlambda L) = 0 :
cos(raizlambda L) = 0
Então, em raizlambda L = ( n + 12 ) pi para n = 0, 1, 2, dots :
lambdan = ( (2n + 1)pi2L )^2
Para que isso seja verdadeiro (com ), precisamos que:
Isso acontece quando:
Portanto, os valores pr��prios são:

Passo 8

Agora, resolvemos a equação para dT(t)dt = -lambda a^2 T(t) :
T(t) = C e^-lambda a^2 t
Esta é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem cuja solução geral é:

Passo 9

Juntando as soluções de un(x, t) = Bn sin( (2n + 1)pi x2L ) e^-( (2n + 1)pi2L )^2 a^2 t e , obtemos as soluções separáveis:

Passo 10

A solução geral é a soma de todas as soluções separáveis possíveis:
u(x, t) = sumn=0^infty Bn sin( (2n + 1)pi x2L ) e^-( (2n + 1)pi2L )^2 a^2 t

Resposta

A solução geral do problema é:
u(x, t) = sumn=0^infty Bn sin( (2n + 1)pi x2L ) e^-( (2n + 1)pi2L )^2 a^2 t

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