Encontre a solução geral do problema abaixo usando separação de variáveis:
Passo 1
Então, temos um problema de equações diferenciais parciais onde queremos encontrar a solução geral da equação no intervalo para . Esse tipo de problema está relacionado ao estudo das equações de difusão ou condução de calor, e vamos usar o método de separação de variáveis para resolvê-lo. Para isso, precisaremos entender como separar as variáveis e e aplicar as condições de contorno fornecidas.
Passo 2
Primeiro, assumimos que a solução pode ser escrita como um produto de duas funções, uma que depende apenas de e outra que depende apenas de . Ou seja, vamos supor que:
Passo 3
Agora, vamos substituir na equação diferencial original :
Passo 4
Dividindo ambos os lados da equação por , obtemos:
Como o lado esquerdo depende apenas de e o lado direito apenas de , ambos devem ser iguais a uma constante, que chamaremos de . Assim, temos duas equações separadas:
Passo 5
Vamos resolver a equação para :
Essa é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem com solução geral:
Passo 6
Agora, aplicamos as condições de contorno para . Primeiro, implica que :
Portanto, e a solução para fica:
Passo 7
Aplicamos a segunda condição de contorno . Primeiro, calculamos a derivada de :
Então, em :
Para que isso seja verdadeiro (com ), precisamos que:
Isso acontece quando:
Portanto, os valores pr��prios são:
Passo 8
Agora, resolvemos a equação para :
Esta é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem cuja solução geral é:
Passo 9
Juntando as soluções de e , obtemos as soluções separáveis:
Passo 10
A solução geral é a soma de todas as soluções separáveis possíveis: