Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada pelos gráficos das equações e/ou desigualdades em torno do eixo indicado. Esboce a região e um retângulo representativo.
(b) y = x^3, y = 0, x = 1, o eixo y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai usar o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido que surge ao girar a região delimitada pelas curvas , e em torno do eixo . Primeiro, precisamos entender bem essas curvas e visualizar a região que vamos girar.

Passo 2

Primeiro, vamos esboçar as curvas:
  • é uma função cúbica que passa pela origem e cresce rapidamente para .
  • é o eixo .
  • é uma linha vertical que corta o eixo no ponto .
A região limitada por essas curvas fica entre e , abaixo da curva e acima do eixo .

Passo 3

Agora, como vamos girar essa região em torno do eixo , o método das cascas cilíndricas é ideal. Esse método envolve pensar na região como uma série de “cascas” cilíndricas infinitamente finas, calcular o volume de cada casca e integrar todas elas.

Passo 4

Vamos lembrar a fórmula do método das cascas cilíndricas:
Aqui:
  • é a distância da casca ao eixo de rotação (neste caso, o eixo ).
  • é a altura da casca, que corresponde à diferença entre as funções que delimitam a região.

Passo 5

No nosso caso:
  • Os limites de integração são de até , pois varia de 0 a 1.
  • A altura da casca é (pois está entre e ).
Então, substituindo na fórmula:

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral:

Passo 7

Substituindo o resultado da integral na expressão do volume:

Resposta

O volume do sólido gerado pela revolução da região dada em torno do eixo é unidades cúbicas.

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© Determine a solução de
l ut=ux x+sen x, em(0, pi) times(0,+infty) u(0, t)=1, t >= 0 ux(pi, t)=2, t >= 0 u(x, 0)=1+sen x, x in[0, pi]
Encontre o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada pelos gráficos das equações e/ou desigualdades em torno do eixo indicado.
(g) x = raiz(4 - y^2), x = 0, y = 0, о eixo y.
Encontre o comprimento do arco do gráfico da equação dada de P até Q ou no intervalo especificado.
(b) y = 2/3 x^(3/2) - 1 ; P(4, 13/3), Q(9, 17).
Sejam as funções abaixo:
f(x) = x^2, para x in [0, pi]
I) Escreva suas representações em série de Fourier em senos.
II) Escreva suas representações em série de Fourier em cossenos.