Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada pelos gráficos das equações e/ou desigualdades em torno do eixo indicado. Esboce a região e um retângulo representativo.
(b) , o eixo .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai usar o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido que surge ao girar a região delimitada pelas curvas , e em torno do eixo . Primeiro, precisamos entender bem essas curvas e visualizar a região que vamos girar.
Passo 2
Primeiro, vamos esboçar as curvas:
é uma função cúbica que passa pela origem e cresce rapidamente para .
é o eixo .
é uma linha vertical que corta o eixo no ponto .
A região limitada por essas curvas fica entre e , abaixo da curva e acima do eixo .
Passo 3
Agora, como vamos girar essa região em torno do eixo , o método das cascas cilíndricas é ideal. Esse método envolve pensar na região como uma série de “cascas” cilíndricas infinitamente finas, calcular o volume de cada casca e integrar todas elas.
Passo 4
Vamos lembrar a fórmula do método das cascas cilíndricas:
Aqui:
é a distância da casca ao eixo de rotação (neste caso, o eixo ).
é a altura da casca, que corresponde à diferença entre as funções que delimitam a região.
Passo 5
No nosso caso:
Os limites de integração são de até , pois varia de 0 a 1.
A altura da casca é (pois está entre e ).
Então, substituindo na fórmula:
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral:
Passo 7
Substituindo o resultado da integral na expressão do volume:
Resposta
O volume do sólido gerado pela revolução da região dada em torno do eixo é unidades cúbicas.