Determine as soluções dos sistemas mecânicos correspondentes às equações abaixo:

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação diferencial . Isso faz parte do estudo de equações diferenciais lineares de segunda ordem com termos não homogêneos. Para resolver essa equação, vamos precisar encontrar a solução geral que combina a solução da equação homogênea e uma solução particular da não homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, . Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação pode ser encontrada resolvendo a equação característica associada.

Passo 3

A equação característica é dada por . Resolvendo para , temos . Isso significa que as raízes são complexas, e a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes a serem determinadas pelas condições iniciais.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação não homogênea . Como o lado direito é um polinômio de segundo grau em , vamos supor que a solução particular seja também um polinômio de segundo grau:
onde , e são constantes que vamos determinar.

Passo 5

Calculando as derivadas de :

Passo 6

Substituindo e suas derivadas na equação original:
Simplificando:

Passo 7

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes de ambos os lados da equação:
Para :
Para :
Para o termo constante:

Passo 8

Substituindo na equação constante:

Passo 9

Portanto, a solução particular é:

Passo 10

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Resposta

As soluções do sistema são dadas por:

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