Determine as soluções dos sistemas mecânicos correspondentes às equações abaixo:
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação diferencial
. Isso faz parte do estudo de equações diferenciais lineares de segunda ordem com termos não homogêneos. Para resolver essa equação, vamos precisar encontrar a solução geral que combina a solução da equação homogênea e uma solução particular da não homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja,
. Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação pode ser encontrada resolvendo a equação característica associada.
Passo 3
A equação característica é dada por
. Resolvendo para
, temos
. Isso significa que as raízes são complexas, e a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes a serem determinadas pelas condições iniciais.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação não homogênea
. Como o lado direito é um polinômio de segundo grau em
, vamos supor que a solução particular seja também um polinômio de segundo grau:
onde
,
e
são constantes que vamos determinar.
Passo 5
Calculando as derivadas de
:
Passo 6
Substituindo
e suas derivadas na equação original:
Simplificando:
Passo 7
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes de ambos os lados da equação:
Para
:
Para
:
Para o termo constante:
Passo 8
Substituindo
na equação constante:
Passo 9
Portanto, a solução particular é:
Passo 10
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
As soluções do sistema são dadas por: