Determine as soluções dos sistemas mecânicos correspondentes às equações abaixo:
ddotx+x=-t-t^2

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação diferencial ddotx + x = -t - t^2. Isso faz parte do estudo de equações diferenciais lineares de segunda ordem com termos não homogêneos. Para resolver essa equação, vamos precisar encontrar a solução geral que combina a solução da equação homogênea e uma solução particular da não homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, ddotx + x = 0. Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação pode ser encontrada resolvendo a equação característica associada.

Passo 3

A equação característica é dada por r^2 + 1 = 0. Resolvendo para r, temos r = pm i. Isso significa que as raízes são complexas, e a solução geral da equação homogênea é:
xh(t) = C1 cos(t) + C2 sin(t)
onde C1 e C2 são constantes a serem determinadas pelas condições iniciais.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação não homogênea ddotx + x = -t - t^2. Como o lado direito é um polinômio de segundo grau em t, vamos supor que a solução particular seja também um polinômio de segundo grau:
xp(t) = At^2 + Bt + C
onde A, B e C são constantes que vamos determinar.

Passo 5

Calculando as derivadas de xp(t):
dotxp(t) = 2At + B
ddotxp(t) = 2A

Passo 6

Substituindo xp e suas derivadas na equação original:
2A + (At^2 + Bt + C) = -t - t^2
Simplificando:
At^2 + Bt + (2A + C) = -t - t^2

Passo 7

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes de ambos os lados da equação:
Para t^2:
A = -1
Para t:
B = -1
Para o termo constante:
2A + C = 0

Passo 8

Substituindo A = -1 na equação constante:
2(-1) + C = 0 Rightarrow -2 + C = 0 Rightarrow C = 2

Passo 9

Portanto, a solução particular é:
xp(t) = -t^2 - t + 2

Passo 10

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
x(t) = xh(t) + xp(t) = C1 cos(t) + C2 sin(t) - t^2 - t + 2

Resposta

As soluções do sistema são dadas por:
x(t) = C1 cos(t) + C2 sin(t) - t^2 - t + 2

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