Refaça o exercício anterior com amortecimento fraco do tipo , onde é uma constante positiva e a velocidade da partícula. Para quais valores de o amortecimento é do tipo fraco?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para refazer o exercício anterior considerando um amortecimento fraco do tipo , onde é uma constante positiva e é a velocidade da partícula. O conteúdo aqui é de Oscilações Amortecidas na física. Para resolver, vamos precisar das equações diferenciais que descrevem o movimento de uma partícula com amortecimento e entender os diferentes tipos de amortecimento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação que descreve um sistema massa-mola com amortecimento:
Aqui, é a massa, é o coeficiente de amortecimento, é a constante da mola, é a posição, e é a velocidade.

Passo 3

Para entender o tipo de amortecimento, vamos analisar o discriminante da equação característica associada:
Dependendo do valor de , temos:
  • Amortecimento fraco (subamortecido):
  • Amortecimento crítico:
  • Amortecimento forte (superamortecido):

Passo 4

Nosso objetivo é encontrar para quais valores de o amortecimento é fraco, ou seja, quando . Então, estabelecemos a condição:

Passo 5

Vamos resolver a inequação:
Isso significa que o coeficiente de amortecimento deve ser tal que seu quadrado seja menor que para termos amortecimento fraco.

Passo 6

Resumindo, para que o amortecimento seja do tipo fraco, a constante deve satisfazer a seguinte condição:

Resposta

O amortecimento é do tipo fraco quando a constante é menor que . Ou seja:

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