Refaça o exercício anterior com amortecimento fraco do tipo b v, onde b é uma constante positiva e v a velocidade da partícula. Para quais valores de b o amortecimento é do tipo fraco?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para refazer o exercício anterior considerando um amortecimento fraco do tipo b v, onde b é uma constante positiva e v é a velocidade da partícula. O conteúdo aqui é de Oscilações Amortecidas na física. Para resolver, vamos precisar das equações diferenciais que descrevem o movimento de uma partícula com amortecimento e entender os diferentes tipos de amortecimento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação que descreve um sistema massa-mola com amortecimento:
m d^2xdt^2 + b dxdt + k x = 0
Aqui, m é a massa, b é o coeficiente de amortecimento, k é a constante da mola, x é a posição, e dxdt é a velocidade.

Passo 3

Para entender o tipo de amortecimento, vamos analisar o discriminante da equação característica associada:
De
Dependendo do valor de De, temos:
  • Amortecimento fraco (subamortecido): De
  • Amortecimento crítico: De
  • Amortecimento forte (superamortecido): De 0

Passo 4

Nosso objetivo é encontrar para quais valores de b o amortecimento é fraco, ou seja, quando De. Então, estabelecemos a condição:
b^2 - 4 m k < 0

Passo 5

Vamos resolver a inequação:
b^2 < 4 m k
Isso significa que o coeficiente de amortecimento b deve ser tal que seu quadrado seja menor que 4 m k para termos amortecimento fraco.

Passo 6

Resumindo, para que o amortecimento seja do tipo fraco, a constante b deve satisfazer a seguinte condição:
b < 2 raizm k

Resposta

O amortecimento é do tipo fraco quando a constante b é menor que 2 raizm k. Ou seja:
b < 2 raizm k

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