Determine a solução do regime transiente e do regime estacionário dos sistemas mecânicos que correspondem às equações de movimento abaixo:
ddotx+3 dotx+2 x=10 sen(t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a equação de movimento . Esse é um problema de equações diferenciais ordinárias de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar entender regimes transiente (a parte que decai com o tempo) e regime estacionário (a parte que permanece constante no tempo). Vamos usar métodos de resolução de equações diferenciais, incluindo a solução da equação homogênea e a busca por uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é ddotx + 3 dotx + 2 x = 0. Para isso, assumimos uma solução do tipo xh = e^rt e substituímos na equação:
ddotxh + 3 dotxh + 2 xh = 0
Rightarrow r^2 e^rt + 3 r e^rt + 2 e^rt = 0
Rightarrow e^rt (r^2 + 3r + 2) = 0
Como e^rt neq 0, temos a equação característica:
r^2 + 3r + 2 = 0

Passo 3

Vamos resolver a equação característica r^2 + 3r + 2 = 0. Usando a fórmula de Bhaskara:
r = -3 pm raiz9 - 82 = -3 pm 12
Então, as raízes são:
r1 = -3 + 12 = -1
r2 = -3 - 12 = -2

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
xh(t) = C1 e^-t + C2 e^-2t
Aqui, C1 e C2 são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se houverem. Essa parte xh(t) representa o regime transiente, que tende a zero conforme t aumenta.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Para isso, usamos o método dos coeficientes a determinar. Assumimos uma solução do tipo:
Vamos derivar ddotx + 3 dotx + 2 x = 10 sen(t):

Substituindo na equação original:

Passo 6

Simplificando a expressão:

Para que as igualdades sejam válidas para todo [-A + 3(-B) + 2A] sen(t) + [-B + 3A + 2B] cos(t) = 10 sen(t), os coeficientes de e (A - 3B) sen(t) + (3A + B) cos(t) = 10 sen(t) devem ser iguais:
t
sen(t)

Passo 7

Resolvendo o sistema de equações:
Da segunda equação: B = -3A
Substituindo na primeira:
A - 3(-3A) = 10
A + 9A = 10
10A = 10
A = 1
Então, B = -3(1) = -3

Passo 8

Com A = 1 e B = -3, a solução particular é:
Essa parte xp(t) = sen(t) - 3 cos(t) representa o regime estacionário, que permanece constante no tempo após o regime transiente desaparecer.

Resposta

A solução geral do sistema é:
  • Regime transiente: x(t) = C1 e^-t + C2 e^-2t + sen(t) - 3 cos(t)
  • Regime estacionário:

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