Determine a solução do regime transiente e do regime estacionário dos sistemas mecânicos que correspondem às equações de movimento abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a equação de movimento . Esse é um problema de equações diferenciais ordinárias de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar entender regimes transiente (a parte que decai com o tempo) e regime estacionário (a parte que permanece constante no tempo). Vamos usar métodos de resolução de equações diferenciais, incluindo a solução da equação homogênea e a busca por uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Para isso, assumimos uma solução do tipo e substituímos na equação:


Como , temos a equação característica:

Passo 3

Vamos resolver a equação característica . Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se houverem. Essa parte representa o regime transiente, que tende a zero conforme aumenta.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Para isso, usamos o método dos coeficientes a determinar. Assumimos uma solução do tipo:
Vamos derivar :

Substituindo na equação original:

Passo 6

Simplificando a expressão:

Para que as igualdades sejam válidas para todo , os coeficientes de e devem ser iguais:

Passo 7

Resolvendo o sistema de equações:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira:



Então,

Passo 8

Com e , a solução particular é:
Essa parte representa o regime estacionário, que permanece constante no tempo após o regime transiente desaparecer.

Resposta

A solução geral do sistema é:
  • Regime transiente:
  • Regime estacionário:

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