Determine a solução do regime transiente e do regime estacionário dos sistemas mecânicos que correspondem às equações de movimento abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a equação de movimento . Esse é um problema de equações diferenciais ordinárias de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar entender regimes transiente (a parte que decai com o tempo) e regime estacionário (a parte que permanece constante no tempo). Vamos usar métodos de resolução de equações diferenciais, incluindo a solução da equação homogênea e a busca por uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Para isso, assumimos uma solução do tipo
e substituímos na equação:
Como
, temos a equação característica:
Passo 3
Vamos resolver a equação característica
. Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se houverem. Essa parte
representa o regime transiente, que tende a zero conforme
aumenta.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Para isso, usamos o método dos coeficientes a determinar. Assumimos uma solução do tipo:
Vamos derivar
:
Substituindo na equação original:
Passo 6
Simplificando a expressão:
Para que as igualdades sejam válidas para todo
, os coeficientes de e
devem ser iguais:
Passo 7
Resolvendo o sistema de equações:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira:
Então,
Passo 8
Com
e
, a solução particular é:
Essa parte
representa o regime estacionário, que permanece constante no tempo após o regime transiente desaparecer.
Resposta
A solução geral do sistema é:
- Regime transiente:
- Regime estacionário: