Determine o tamanho que deveria ter a amostra para que a média da amostra diferisse da média da população de 0,2 unidade ou menos, ao nível de confiança de 99%.
Passo 1
Vamos resumir o que precisa ser feito: queremos descobrir o tamanho ideal da amostra para que a média da amostra não difira da média da população mais do que 0,2 unidade, com um nível de confiança de 99%. Para isso, vamos usar conceitos de estatística relacionados ao cálculo do tamanho da amostra para estimar uma média com uma margem de erro específica. Precisamos saber o desvio padrão da população para continuar.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é o nível de confiança. Um nível de confiança de 99% significa que estamos 99% seguros de que a média da amostra estará dentro do intervalo especificado em relação à média da população. Para encontrar o valor crítico correspondente a 99% de confiança, usamos a distribuição normal padrão. Esse valor crítico é representado pela letra Z.
Passo 3
O próximo passo é usar a fórmula para calcular o tamanho da amostra (n) necessário. A fórmula para determinar o tamanho da amostra quando queremos estimar uma média é:
Onde:
- $ Z $ é o valor crítico da distribuição normal para o nível de confiança desejado.
- $ \sigma $ é o desvio padrão da população.
- $ E $ é a margem de erro máxima permitida (neste caso, 0,2 unidade).
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o valor de $ Z $ para um nível de confiança de 99%. Consultando uma tabela de distribuição normal, encontramos que $ Z \approx 2,576 $ para 99% de confiança.
Passo 5
Substituindo os valores conhecidos na fórmula:
Passo 6
Simplificando a expressão:
Resposta
O tamanho da amostra necessário é:
Para determinar o valor exato de $ n
\sigma $).