Determine o tempo que leva para que 1000 g de certa substância radioativa, que se desintegra a taxa de
ao ano, reduza-se a 200 g. Utilize a seguinte expressão:
, em que
é a massa da substância,
é a taxa e t é o tempo em anos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir quanto tempo leva para que 1000 gramas de uma substância radioativa, que perde 2% do seu peso todo ano, chegue a 200 gramas. Vamos usar uma equação que descreve esse tipo de desintegração:
, onde:
-
é a quantidade final da substância, -
é a quantidade inicial, -
é a taxa de desintegração, -
é o tempo em anos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os valores que já temos:
- Quantidade inicial,
g, - Quantidade final,
g, - Taxa de desintegração,
ao ano, ou seja, .
Passo 3
Vamos substituir esses valores na equação para encontrar o tempo
:
Passo 4
Agora, vamos isolar a parte que contém o tempo. Primeiro, dividimos ambos os lados por 1000:
Simplificando:
Passo 5
Para resolver para
, precisamos tirar o logaritmo natural de ambos os lados. Lembra que
? Então:
Passo 6
Calculando o logaritmo:
Então:
Passo 7
Agora, vamos resolver para
dividindo ambos os lados por
:
Resposta
Leva aproximadamente 80,47 anos para a substância reduzir de 1000 g para 200 g.
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é:
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