Determine o tempo que leva para que 1000 g de certa substância radioativa, que se desintegra a taxa de ao ano, reduza-se a 200 g. Utilize a seguinte expressão: , em que é a massa da substância, é a taxa e t é o tempo em anos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir quanto tempo leva para que 1000 gramas de uma substância radioativa, que perde 2% do seu peso todo ano, chegue a 200 gramas. Vamos usar uma equação que descreve esse tipo de desintegração: , onde:
  • é a quantidade final da substância,
  • é a quantidade inicial,
  • é a taxa de desintegração,
  • é o tempo em anos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os valores que já temos:
  • Quantidade inicial, g,
  • Quantidade final, g,
  • Taxa de desintegração, ao ano, ou seja, .

Passo 3

Vamos substituir esses valores na equação para encontrar o tempo :

Passo 4

Agora, vamos isolar a parte que contém o tempo. Primeiro, dividimos ambos os lados por 1000:
Simplificando:

Passo 5

Para resolver para , precisamos tirar o logaritmo natural de ambos os lados. Lembra que ? Então:

Passo 6

Calculando o logaritmo:
Então:

Passo 7

Agora, vamos resolver para dividindo ambos os lados por :

Resposta

Leva aproximadamente 80,47 anos para a substância reduzir de 1000 g para 200 g.

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