Calcule as seguintes integrais integral1^3 1x raizx d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral definida de no intervalo de 1 a 3. Isso envolve o conteúdo de integração de funções racionais com raízes. Para resolver, vamos simplificar a expressão e aplicar as regras básicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o integrando 1x cdot x^1/2 = 1x^3/2 = x^-3/2 . Sabemos que integral1^3 x^-3/2 , dx é o mesmo que . Então, a expressão fica:
Agora, a integral fica mais simples:

Passo 3

Vamos integrar integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C (onde ( n neq -1 )) . A regra de integração para potências de integral x^-3/2 , dx = x^-3/2 + 1-3/2 + 1 = x^-1/2-1/2 = -2x^-1/2 diz que:
-2 cdot 1raizx
Aqui, , então:
Ou seja:

Passo 4

Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a 3:
-2 cdot 1raizx g|1^3 = -2 ( 1raiz3 - 1raiz1 ) = -2 ( 1raiz3 - 1 )
Simplificando:
-2 cdot ( 1 - raiz3raiz3 ) = 2 (1 - 1raiz3 )
Podemos racionalizar o denominador se preferir:
2 (1 - raiz33 ) = 6 - 2raiz33

Resposta

O valor da integral é ou, de forma aproximada, .

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