Determine o termo independente de x em (1+x+2 / x)^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o termo que não tem na expressão . Isso envolve conhecimentos de álgebra, especialmente sobre como expandir potências de expressões com várias parcelas. Vamos precisar usar o Teorema do Binômio, mas adaptado para mais de dois termos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a expressão que vamos expandir: . Isso significa que vamos multiplicar por si mesmo três vezes. Quando expandimos essa expressão, cada termo resultante será uma combinação dos termos , e .

Passo 3

Para encontrar o termo independente de , ou seja, o termo que não tem , precisamos identificar quais combinações dos termos , e vão resultar em um termo sem . Vamos pensar nos expoentes de em cada multiplicação:
  • tem
  • tem
  • tem
Quando multiplicamos três desses termos, a soma dos expoentes de deve ser zero para o termo ser independente de .

Passo 4

Vamos listar todas as possíveis combinações de três termos e verificar quais delas resultam em :
  1. : Expoentes
  2. : Expoentes
  3. : Expoentes
  4. : Expoentes
  5. : Expoentes
  6. : Expoentes
  7. : Expoentes
  8. : Expoentes
  9. : Expoentes
  10. : Expoentes

Passo 5

Agora, das combinações acima, vemos que as que resultam em expoente zero são:
  1. : Coeficiente
  2. : Coeficiente

Passo 6

Somando os coeficientes dessas combinações que dão :

Resposta

O termo independente de na expressão é 3.

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