Considere um conjunto
de 20 pontos do espaço que tem um subconjunto
formado por 8 pontos coplanares. Sabe-se que toda vez que 4 pontos de
são coplanares, então eles são pontos de
. Quantos são os planos que contêm pelo menos três pontos de
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um conjunto $ C $ com 20 pontos no espaço, e dentro dele, um subconjunto $ C_1 $ com 8 pontos que estão todos no mesmo plano. Além disso, sempre que 4 pontos de $ C $ estiverem no mesmo plano, eles estão obrigatoriamente em $ C_1 $. Nosso objetivo aqui é descobrir quantos planos diferentes contêm pelo menos três pontos de $ C $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quantos grupos de 3 pontos podemos formar com os 20 pontos de $ C $. Isso é uma combinação, já que a ordem dos pontos não importa. A fórmula para combinações é:
Aqui, $ n = 20 $ e $ k = 3 $, então:
Então, temos 1140 grupos diferentes de 3 pontos.
Passo 3
Agora, precisamos considerar que alguns desses grupos de 3 pontos estão todos no mesmo plano $ C_1 $. Sabemos que $ C_1 $ tem 8 pontos, então vamos calcular quantos grupos de 3 pontos podemos formar apenas dentro de $ C_1 $:
Então, há 56 grupos de 3 pontos que estão todos no plano $ C_1 $.
Passo 4
Cada um desses 56 grupos de 3 pontos no $ C_1 $ define o mesmo plano $ C_1 $. Ou seja, ao invés de contar 56 planos diferentes, na verdade, estamos contando apenas 1 plano (o $ C_1 $). Para não duplicar, vamos subtrair esses 56 grupos ao total inicial de 1140 e depois adicionar apenas 1 para representar o plano $ C_1 $.
Passo 5
Fazendo as contas:
Resposta
Existem 1085 planos que contêm pelo menos três pontos do conjunto $ C $.