(a) Determine o torque que pode ser aplicado a um eixo de seção cheia com diâmetro de 20 mm, sem exceder a tensão de cisalhamento admissível do material do eixo de 80 MPa. (b) Resolva a parte a considerando que a seção transversal cheia foi substituída por um eixo vazado com a mesma área de seção transversal e com um diâmetro interno igual à metade de seu próprio diâmetro externo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre torque em eixos e quer saber quanto torque dá para aplicar sem estressar demais o material. A gente vai usar conceitos de torque, tensão de cisalhamento e momento polar de inércia para resolver. Precisamos saber o diâmetro do eixo, a tensão máxima permitida e aplicar as fórmulas certas para calcular o torque.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte (a), que é sobre um eixo de seção cheia (sólido) com diâmetro de 20 mm e tensão de cisalhamento máxima de 80 MPa. A gente vai usar a fórmula do torque para eixos circulares sólidos:
T = tau cdot Jr
Onde:
  • é o torque,
  • é a tensão de cisalhamento,
  • é o momento polar de inércia,
  • é o raio do eixo.

Passo 3

Vamos calcular o momento polar de inércia ( J = pi cdot r^42 ) para um eixo circular sólido. A fórmula é:
J = pi cdot (10)^42 = pi cdot 100002 = 5000pi , mm^4
Com diâmetro de 20 mm, o raio é 10 mm. Então:

Passo 4

Agora, substituímos os valores na fórmula do torque:
T = 80 times 5000pi10 = 80 times 500pi = 40000pi , Nmm
Convertendo para Nm:
40000pi , Nmm = 40pi , Nm approx 125,66 , Nm

Passo 5

Pronto! Calculamos o torque máximo que pode ser aplicado no eixo sólido sem exceder a tensão de cisalhamento admissível.

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b), onde o eixo é vazado, ou seja, tem um diâmetro interno. A seção transversal tem a mesma área que o eixo sólido, e o diâmetro interno é metade do externo.
Primeiro, vamos encontrar o diâmetro externo do eixo vazado. Sabemos que as áreas devem ser iguais:
Área do eixo sólido:
Asólido = pi cdot d^24 = pi cdot (20)^24 = 100pi , mm^2 ó
Eixo vazado:
Avazado = pi cdot do^24 - pi cdot di^24 = 100pi
Sabendo que pi cdot do^24 - pi cdot (do2)^24 = 100pi , substituímos:
do^24 - do^216 = 100
4do^2 - do^216 = 100
3do^216 = 100 implies do^2 = 16003 implies do approx 23,094 , mm

Passo 7

Agora, calculamos o momento polar de inércia para o eixo vazado:
J = pi2 (ro^4 - ri^4)
Com J = pi2 (11,547^4 - 5,7735^4) approx pi2 (17777 - 1111) approx pi2 times 16666 approx 8333pi , mm^4 , o raio externo e .

Passo 8

Usando a mesma fórmula do torque:
T = 80 times 8333pi11,547 approx 666640pi11,547 approx 57700pi , Nmm approx 57700 times 3,1416 , Nmm approx 181,063 , Nm

Resposta

(a) O torque máximo que pode ser aplicado no eixo sólido é aproximadamente 125,66 Nm.
(b) Considerando o eixo vazado, o torque máximo permitido é aproximadamente 181,06 Nm.

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