(a) Determine o torque que pode ser aplicado a um eixo de seção cheia com diâmetro de 20 mm , sem exceder a tensão de cisalhamento admissível do material do eixo de 80 MPa . (b) Resolva a parte a considerando que a seção transversal cheia foi substituída por um eixo vazado com a mesma área de seção transversal e com um diâmetro interno igual à metade de seu próprio diâmetro externo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um eixo circular cheio com diâmetro de 20 mm e precisamos descobrir qual torque pode ser aplicado sem que a tensão de cisalhamento ultrapasse 80 MPa. Isso envolve conceitos de resistência dos materiais, especificamente sobre torque e tensões em eixos. Vamos precisar usar fórmulas de torque para eixos circulares e entender como calcular o momento de inércia polar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a tensão de cisalhamento ( tau = T cdot rJ ) em um eixo circular sólido é dada pela fórmula:
Onde:
  • é o torque aplicado,
  • é o raio do eixo,
  • é o momento de inércia polar da seção transversal.
Queremos encontrar o torque máximo que não exceda a tensão admissível .

Passo 3

Precisamos calcular J = pi cdot d^432 para um eixo circular cheio. A fórmula do momento de inércia polar para um círculo sólido é:
J = pi cdot (20)^432
Onde J = pi cdot 16000032 é o diâmetro do eixo. No nosso caso, J = 5000pi , mm^4 . Vamos substituir:

Passo 4

Agora, vamos rearranjar a fórmula da tensão para encontrar o torque T = tau cdot Jr :
T = 80 times 10^6 , Pa cdot 5000pi , mm^410 , mm
Sabemos que o diâmetro T = 80 times 10^6 , Pa cdot 5000pi times 10^-12 , m^40.01 , m , então o raio T = 80 times 10^6 cdot 5000pi times 10^-12 / 0.01 . Substituindo os valores:
T = 80 times 5000pi times 10^-6 , N cdot m
É importante notar que T = 400000pi times 10^-6 , N cdot m e T approx 1.257 , N cdot m , então precisamos ajustar as unidades:

Resposta

O torque máximo que pode ser aplicado ao eixo sem exceder a tensão de cisalhamento admissível de 80 MPa é aproximadamente .

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