Determine a transformada e a integral de Fourier das funções abaixo:
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para determinarmos a transformada de Fourier e a integral de Fourier da função definida por partes. Isso faz parte da matéria de Análise de Sinais ou de Transformadas Integrais, onde usamos a transformada de Fourier para analisar funções no domínio da frequência. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a definição da transformada de Fourier e calcular integrais específicas para cada parte da função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição da transformada de Fourier. A transformada de Fourier de uma função F(omega) = integral-infty^infty f(x) e^-i omega x , dx é dada por:
Aqui, é a frequência angular e é a unidade imaginária. No nosso caso, a função é zero fora do intervalo , então a integral se reduz a esse intervalo.
Passo 3
Vamos então expressar f(x) = 0, & se x < -1 1 + x, & se -1 <= x <= 0 1 - x, & se 0 <= x <= 1 0, & se x > 1 de forma clara:
Assim, podemos dividir a transformada de Fourier em duas partes correspondentes aos intervalos onde não é zero.
Passo 4
Vamos calcular F(omega) = integral-1^0 (1 + x) e^-i omega x , dx + integral0^1 (1 - x) e^-i omega x , dx dividindo a integral em duas partes:
Vou explicar que estamos separando a integral porque a função tem duas expressões diferentes nesses intervalos, então precisamos tratar cada uma separadamente.
Passo 5
Vamos resolver a primeira integral:
I1 = integral-1^0 (1 + x) e^-i omega x , dx
Expandimos essa integral:
I1 = integral-1^0 e^-i omega x , dx + integral-1^0 x e^-i omega x , dx
A primeira parte é uma integral básica, e a segunda parte requer a aplicação da integração por partes.
Passo 6
Calculando a primeira parte de integral e^-i omega x , dx = e^-i omega x-i omega :
Agora, a segunda parte de integral x e^-i omega x , dx :
du = dx e v = e^-i omega x-i omega
Aplicando integração por partes, onde integral x e^-i omega x , dx = x cdot e^-i omega x-i omega - integral e^-i omega x-i omega , dx e = x e^-i omega x-i omega + e^-i omega x(omega)^2 :
Aplicando integração por partes, onde integral x e^-i omega x , dx = x cdot e^-i omega x-i omega - integral e^-i omega x-i omega , dx e = x e^-i omega x-i omega + e^-i omega xomega^2 :