Determine a transformada e a integral de Fourier das funções abaixo:
f(x)= 0, & se -infty

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para determinarmos a transformada de Fourier e a integral de Fourier da função definida por partes. Isso faz parte da matéria de Análise de Sinais ou de Transformadas Integrais, onde usamos a transformada de Fourier para analisar funções no domínio da frequência. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a definição da transformada de Fourier e calcular integrais específicas para cada parte da função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição da transformada de Fourier. A transformada de Fourier de uma função F(omega) = integral-infty^infty f(x) e^-i omega x , dx é dada por:
Aqui, é a frequência angular e é a unidade imaginária. No nosso caso, a função é zero fora do intervalo , então a integral se reduz a esse intervalo.

Passo 3

Vamos então expressar f(x) = 0, & se x < -1 1 + x, & se -1 <= x <= 0 1 - x, & se 0 <= x <= 1 0, & se x > 1 de forma clara:
Assim, podemos dividir a transformada de Fourier em duas partes correspondentes aos intervalos onde não é zero.

Passo 4

Vamos calcular F(omega) = integral-1^0 (1 + x) e^-i omega x , dx + integral0^1 (1 - x) e^-i omega x , dx dividindo a integral em duas partes:
Vou explicar que estamos separando a integral porque a função tem duas expressões diferentes nesses intervalos, então precisamos tratar cada uma separadamente.

Passo 5

Vamos resolver a primeira integral:
I1 = integral-1^0 (1 + x) e^-i omega x , dx
Expandimos essa integral:
I1 = integral-1^0 e^-i omega x , dx + integral-1^0 x e^-i omega x , dx
A primeira parte é uma integral básica, e a segunda parte requer a aplicação da integração por partes.

Passo 6

Calculando a primeira parte de integral e^-i omega x , dx = e^-i omega x-i omega :
e^-i omega x-i omega |-1^0 = 1 - e^i omega-i omega
Avaliado de a :

Passo 7

Agora, a segunda parte de integral x e^-i omega x , dx :
du = dx e v = e^-i omega x-i omega
Aplicando integração por partes, onde integral x e^-i omega x , dx = x cdot e^-i omega x-i omega - integral e^-i omega x-i omega , dx e = x e^-i omega x-i omega + e^-i omega x(omega)^2 :
( x e^-i omega x-i omega + e^-i omega xomega^2 ) |-1^0
Assim:
= ( 0 + 1omega^2 ) - ( -1 e^i omega-i omega + e^i omegaomega^2 )
Resolvendos os termos:
= 1omega^2 - ( e^i omegai omega + e^i omegaomega^2 )
Avaliado de a :
Substituindo os limites:

Passo 8

Agora, juntando as partes de I1 = 1 - e^i omega-i omega + 1omega^2 - ( e^i omegai omega + e^i omegaomega^2 ) :
I1 = 1 - e^i omega-i omega + 1omega^2 - e^i omegai omega - e^i omegaomega^2
Simplificando:
= 1-i omega - e^i omega-i omega + 1omega^2 - e^i omegai omega - e^i omegaomega^2
= 1-i omega + e^i omegai omega + 1omega^2 - e^i omegai omega - e^i omegaomega^2
= 1-i omega + 1omega^2 - e^i omegaomega^2
Observe que alguns termos se cancelam:
= -1i omega + 1 - e^i omegaomega^2

Passo 9

Agora, vamos calcular a segunda integral:
I2 = integral0^1 (1 - x) e^-i omega x , dx
Assim como fizemos antes, expandimos:
I2 = integral0^1 e^-i omega x , dx - integral0^1 x e^-i omega x , dx
Vamos resolver cada parte separadamente.

Passo 10

Primeira parte de integral e^-i omega x , dx = e^-i omega x-i omega :
e^-i omega x-i omega |0^1 = e^-i omega - 1-i omega
Avaliado de a :

Passo 11

Segunda parte de integral x e^-i omega x , dx :
du = dx e v = e^-i omega x-i omega
Aplicando integração por partes, onde integral x e^-i omega x , dx = x cdot e^-i omega x-i omega - integral e^-i omega x-i omega , dx e = x e^-i omega x-i omega + e^-i omega xomega^2 :
( x e^-i omega x-i omega + e^-i omega xomega^2 ) |0^1
Assim:
= ( 1 e^-i omega-i omega + e^-i omegaomega^2 ) - ( 0 + 1omega^2 )
Resolvendos os termos:
= e^-i omega-i omega + e^-i omegaomega^2 - 1omega^2
Avaliado de a :
Substituindo os limites:

Passo 12

Juntando as partes de I2 = e^-i omega - 1-i omega - ( e^-i omegai omega + e^-i omegaomega^2 - 1omega^2 ) :
I2 = 1 - e^-i omegai omega - e^-i omegai omega - e^-i omegaomega^2 + 1omega^2
Simplificando:
= 1i omega - e^-i omegai omega - e^-i omegaomega^2 + 1omega^2
= 1i omega - e^-i omegai omega + 1 - e^-i omegaomega^2

Passo 13

Agora, somando F(omega) = I1 + I2 e F(omega) = ( -1i omega + 1 - e^i omegaomega^2 ) + ( 1i omega - e^-i omegai omega + 1 - e^-i omegaomega^2 ) para obter a transformada de Fourier F(omega) = ( -1i omega + 1i omega ) + ( 1 - e^i omegaomega^2 + 1 - e^-i omegaomega^2 ) - e^-i omegai omega :
= 0 + 2 - e^i omega - e^-i omegaomega^2 - e^-i omegai omega
Substituindo os valores encontrados:
Simplificando os termos:

Passo 14

Usando a identidade de Euler F(omega) = 2 - 2 cos(omega)omega^2 - e^-i omegai omega , podemos simplificar:
F(omega) = 4 sin^2(omega2)omega^2 - e^-i omegai omega
Também, sabemos que , então:

Passo 15

Portanto, a transformada de Fourier da função F(omega) = 4 sin^2(omega2)omega^2 - e^-i omegai omega é:

Resposta

A transformada de Fourier da função F(omega) = 4 sin^2(omega2)omega^2 - e^-i omegai omega é:

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