Encontre as derivadas parciais partial fpartial x e partial fpartial y, utilizando a definição:
d) f(x, y)=x y^2-5 y+6

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais e da função . Isso faz parte do estudo de Cálculo Diferencial, mais especificamente das derivadas parciais. Para isso, vamos usar a definição de derivada parcial, que envolve calcular limites.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de partial fpartial x = limh to 0 f(x + h, y) - f(x, y)h em relação a , ou seja, . A definição de derivada parcial em relação a é:

Passo 3

Vamos calcular f(x + h, y) = (x + h) y^2 - 5 y + 6 = x y^2 + h y^2 - 5 y + 6 :

Passo 4

Agora, substituímos na definição:
partial fpartial x = limh to 0 (x y^2 + h y^2 - 5 y + 6) - (x y^2 - 5 y + 6)h

Passo 5

Simplificamos a expressão dentro do limite:
partial fpartial x = limh to 0 h y^2h = limh to 0 y^2 = y^2

Passo 6

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de partial fpartial y = limk to 0 f(x, y + k) - f(x, y)k em relação a , ou seja, . A definição de derivada parcial em relação a é:

Passo 7

Calculamos f(x, y + k) = x (y + k)^2 - 5 (y + k) + 6 = x (y^2 + 2 y k + k^2) - 5 y - 5 k + 6 :

Passo 8

Substituímos na definição:
partial fpartial y = limk to 0 x y^2 + 2 x y k + x k^2 - 5 y - 5 k + 6 - (x y^2 - 5 y + 6)k

Passo 9

Simplificamos a expressão dentro do limite:
partial fpartial y = limk to 0 2 x y k + x k^2 - 5 kk = limk to 0 (2 x y + x k - 5) = 2 x y - 5

Resposta

As derivadas parciais são:
partial fpartial x = y^2
e
partial fpartial y = 2 x y - 5

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