Determine a transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções, demonstrando os cálculos para obtê-las.
;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a transformada de Laplace da função . A transformada de Laplace é uma ferramenta matemática usada para resolver equações diferenciais, transformando funções do domínio do tempo para o domínio da frequência. Para resolver isso, vamos precisar saber a definição da transformada de Laplace e conhecer a função , que é a função degrau unitário.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função . A função degrau unitário é definida assim:
Ela é muito útil em sistemas que começam a operar em .

Passo 3

Agora, vamos ver o que é a transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função é dada por:
Onde é um número complexo. Nosso objetivo é aplicar essa definição à função .

Passo 4

Aplicando a definição da transformada de Laplace à função , temos:
Como para , a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral:
A antiderivada de em relação a é:
Então, avaliando nos limites de 0 a :

Resposta

A transformada de Laplace da função é:

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Determine a transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções, demonstrando os cálculos para obtê-las.
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Se , obtenha .
Se , obtenha .