Determine a transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções, demonstrando os cálculos para obtê-las.
u(t);

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a transformada de Laplace da função . A transformada de Laplace é uma ferramenta matemática usada para resolver equações diferenciais, transformando funções do domínio do tempo para o domínio da frequência. Para resolver isso, vamos precisar saber a definição da transformada de Laplace e conhecer a função , que é a função degrau unitário.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função u(t) = 0, & se t < 0 1, & se t >= 0 . A função degrau unitário é definida assim:
Ela é muito útil em sistemas que começam a operar em .

Passo 3

Agora, vamos ver o que é a transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função Lf(t) = integral0^infty e^-st f(t) , dt é dada por:
Onde é um número complexo. Nosso objetivo é aplicar essa definição à função .

Passo 4

Aplicando a definição da transformada de Laplace à função Lu(t) = integral0^infty e^-st cdot u(t) , dt , temos:
Lu(t) = integral0^infty e^-st cdot 1 , dt = integral0^infty e^-st , dt
Como para , a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral:
integral0^infty e^-st , dt
A antiderivada de -1s e^-st em relação a [ -1s e^-st ]0^infty = ( 0 - ( -1s cdot 1 ) ) = 1s é:
Então, avaliando nos limites de 0 a :

Resposta

A transformada de Laplace da função Lu(t) = 1s é:

Exercícios relacionados