Determine a transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções, demonstrando os cálculos para obtê-las.
e^-a t u(t), a >= 0;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformada de Laplace! O enunciado pede para encontrar a transformada de Laplace da função , onde . A Transformada de Laplace é uma ferramenta matemática que ajuda a transformar funções no tempo em funções no domínio complexo, facilitando a resolução de equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição da Transformada de Laplace. Para uma função F(s) = Lf(t) = integral0^infty e^-s t f(t) , dt , a transformada de Laplace é dada por:
Aqui, é um número complexo onde a transformada converge.

Passo 3

Agora, aplicamos essa definição à nossa função . Como é a função degrau unitário, que vale 0 para e 1 para , podemos simplificar a função para em .

Passo 4

Substituímos F(s) = integral0^infty e^-s t e^-a t , dt = integral0^infty e^-(s + a) t , dt na integral da Transformada de Laplace:

Passo 5

Essa integral é uma exponencial simples que podemos resolver. A integral de F(s) = 1s + a de 0 a é , desde que . No nosso caso, .

Resposta

A Transformada de Laplace da função Le^-a t u(t) = 1s + a é:

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