Determine o valor de k real sabendo que os vetores →u( 2, - 2 , 0 ),→v( k , 0, 2) e→w( 2, 2 , - 1 ) são coplanares.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema nos dá três vetores: u = (2, -2, 0), v = (k, 0, 2) e w = (2, 2, -1). A gente precisa descobrir o valor de k que faz com que esses três vetores sejam coplanares. Coplanares significa que os vetores estão todos no mesmo plano. Para resolver isso, vamos usar um conceito da geometria vetorial chamado produto misto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o produto misto. O produto misto de três vetores é um número que nos diz se os vetores estão no mesmo plano (coplanares) ou não. Se o produto misto for zero, os vetores são coplanares. A fórmula do produto misto é:
Onde:
é o produto vetorial de v e w.
(produto vetorial) é o produto escalar de u com o resultado do produto vetorial.
Passo 3
Vamos calcular o produto vetorial . Para isso, usamos a matriz determinante:
Calculando o determinante:
v times w = i(0 times (-1) - 2 times 2) - j(k times (-1) - 2 times 2) + k(k times 2 - 0 times 2)
= i(0 - 4) - j(-k - 4) + k(2k)
= -4i + (k + 4)j + 2kk
Então, v times w = (-4, k + 4, 2k).
Passo 4
Agora vamos calcular o produto escalar u cdot (v times w):
u cdot (v times w) = (2, -2, 0) cdot (-4, k + 4, 2k)
= 2 times (-4) + (-2) times (k + 4) + 0 times (2k)
= -8 - 2(k + 4) + 0
= -8 - 2k - 8
= -16 - 2k
Passo 5
Para que os vetores sejam coplanares, o produto misto deve ser igual a zero:
-16 - 2k = 0
Agora, vamos resolver para k:
-2k = 16
k = -8
Resposta
O valor de k que torna os vetores coplanares é k = -8.