Determine o valor de s=(π/3), onde s(X) é a função comprimento do arco da curva f(X)=In (sec sec x), medido a partir do ponto x=π/4.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Cálculo que pede para determinar o comprimento do arco da curva $ f(x) = \ln(\sec x) $ entre os pontos $ x = \frac{\pi}{4} $ e $ x = \frac{\pi}{3} $. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de arco, que envolve derivadas e integrais. Basicamente, vamos calcular quanto mede o caminho da curva entre esses dois pontos.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função $ f(x) = \ln(\sec x) $. Lembra que a derivada de $ \ln(u) $ é $ \frac{u’}{u} $. Então, vamos derivar:
Passo 3
Agora que temos a derivada, vamos montar a expressão dentro da raiz da fórmula do comprimento de arco. A fórmula é:
Substituindo $ f’(x) $ por $ \tan x $:
E sabemos que $ 1 + \tan^2 x = \sec^2 x $ pela identidade trigonométrica.
Passo 4
Então, a integral que representa o comprimento do arco fica:
Como a raiz quadrada de $ \sec^2 x $ é $ \sec x $ (considerando $ x $ no intervalo onde $ \sec x $ é positiva), simplificamos para:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral de $ \sec x $. A integral de $ \sec x $ é $ \ln|\sec x + \tan x| + C $. Aplicando os limites de integração:
Passo 6
Vamos calcular os valores nos limites:
Para $ x = \frac{\pi}{3} $:
Então:
Para $ x = \frac{\pi}{4} $:
Então:
Resposta
O comprimento do arco da curva $ f(x) = \ln(\sec x) $ entre $ x = \frac{\pi}{4} $ e $ x = \frac{\pi}{3} $ é: