Numa fazenda, deseja-se cercar uma região para dividir o pasto em duas partes. Os dois pastos são retangulares e possuem um lado em comum. Considere que as dimensões dos pastos são denominadas de a e b, de forma que o lado a seja comum a ambos. Determine as dimensões a e b, de forma que cada pasto fique com 400 m² de área, tal que o comprimento da cerca seja mínimo. Ou seja, de forma que o fazendeiro gaste o mínimo possível. Assinale o valor encontrado, para as dimensões solicitadas.
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício está pedindo: na fazenda, queremos cercar uma área que será dividida em duas partes iguais, cada uma com 400 m². As duas áreas são retangulares e compartilham um lado comum de comprimento a. Queremos encontrar os valores de a e b que minimizem o comprimento total da cerca, ou seja, fazer o fazendeiro gastar o mínimo possível.
Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria sobre áreas de retângulos e cálculo para minimizar funções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que cada pasto é um retângulo com área de 400 m². A área de um retângulo é calculada multiplicando-se a base pela altura. Neste caso, temos:
Isso nos dá uma relação entre a e b.
Passo 3
Queremos minimizar o comprimento total da cerca. Como as duas áreas compartilham um lado comum de comprimento a, precisamos calcular o total de cerca necessária.
Cada retângulo tem dois lados de comprimento b e um lado de comprimento a, mas como eles compartilham um lado a, o comprimento total da cerca será:
Isso porque temos três vezes o lado a (um para cada extremidade e um compartilhado) e dois vezes o lado b.
Passo 4
Agora, usamos a relação da área para expressar b em função de a. Da equação:
Substituímos esse valor de b na equação do comprimento C:
Passo 5
Para encontrar o mínimo de C, derivamos a função em relação a a e igualamos a zero. A derivada de C em relação a a é:
Igualando a derivada a zero para encontrar o ponto crítico:
Passo 6
Resolvendo para a:
Passo 7
Agora, substituímos o valor de a na expressão para b:
Resposta
As dimensões que minimizam o comprimento da cerca são aproximadamente a = 16,33 metros e b = 24,50 metros.