Numa fazenda, deseja-se cercar uma região para dividir o pasto em duas partes. Os dois pastos são retangulares e possuem um lado em comum. Considere que as dimensões dos pastos são denominadas de a e b, de forma que o lado a seja comum a ambos. Determine as dimensões a e b, de forma que cada pasto fique com 400 m² de área, tal que o comprimento da cerca seja mínimo. Ou seja, de forma que o fazendeiro gaste o mínimo possível. Assinale o valor encontrado, para as dimensões solicitadas.

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício está pedindo: na fazenda, queremos cercar uma área que será dividida em duas partes iguais, cada uma com 400 m². As duas áreas são retangulares e compartilham um lado comum de comprimento a. Queremos encontrar os valores de a e b que minimizem o comprimento total da cerca, ou seja, fazer o fazendeiro gastar o mínimo possível.
Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria sobre áreas de retângulos e cálculo para minimizar funções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que cada pasto é um retângulo com área de 400 m². A área de um retângulo é calculada multiplicando-se a base pela altura. Neste caso, temos:
a times b = 400
Isso nos dá uma relação entre a e b.

Passo 3

Queremos minimizar o comprimento total da cerca. Como as duas áreas compartilham um lado comum de comprimento a, precisamos calcular o total de cerca necessária.
Cada retângulo tem dois lados de comprimento b e um lado de comprimento a, mas como eles compartilham um lado a, o comprimento total da cerca será:
C = 3a + 2b
Isso porque temos três vezes o lado a (um para cada extremidade e um compartilhado) e dois vezes o lado b.

Passo 4

Agora, usamos a relação da área para expressar b em função de a. Da equação:
a times b = 400 implies b = 400a
Substituímos esse valor de b na equação do comprimento C:
C = 3a + 2(400a) = 3a + 800a

Passo 5

Para encontrar o mínimo de C, derivamos a função em relação a a e igualamos a zero. A derivada de C em relação a a é:
dCda = 3 - 800a^2
Igualando a derivada a zero para encontrar o ponto crítico:
3 - 800a^2 = 0 implies 3 = 800a^2

Passo 6

Resolvendo para a:
3a^2 = 800 implies a^2 = 8003 implies a = raiz8003 approx 16,33 metros

Passo 7

Agora, substituímos o valor de a na expressão para b:
b = 400a = 40016,33 approx 24,50 metros

Resposta

As dimensões que minimizam o comprimento da cerca são aproximadamente a = 16,33 metros e b = 24,50 metros.

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