Determine os valores reais de x para que exista:
a- log2 (x-8)
b- log (1-x)
c- log5(5x-2) + log5 (x-3)
De a condição de existência de:
a- log5 (x elevado a dois + 4x - 5)
b- log (50 - 5x - x ao quadrado)
a- log2 (x-8)
b- log (1-x)
c- log5(5x-2) + log5 (x-3)
De a condição de existência de:
a- log5 (x elevado a dois + 4x - 5)
b- log (50 - 5x - x ao quadrado)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você trouxe envolve funções logarítmicas e a gente precisa descobrir para quais valores reais de $ x $ essas funções existem. Vamos usar conceitos de domínio das funções logarítmicas e algumas propriedades básicas de logaritmos para resolver cada parte do exercício.
Passo 2
a- $ \log_2 (x - 8) $
Primeiro, para um logaritmo $ \log_b (A) $ existir, o argumento $ A $ precisa ser positivo, ou seja, $ A > 0 $. No nosso caso, $ A = x - 8 $.
Então, temos:
Resposta: $ x > 8 $
Passo 3
b- $ \log (1 - x) $
Aqui, o logaritmo é na base 10 (pois não foi especificada outra base). Novamente, o argumento precisa ser positivo:
Multiplicando ambos os lados por -1 (lembrando que isso inverte a desigualdade):
Resposta: $ x < 1 $
Passo 4
c- $ \log_5(5x - 2) + \log_5(x - 3) $
Para a soma de logaritmos da mesma base, podemos combinar usando a propriedade:
Então,
Para que esse logaritmo exista, o argumento deve ser positivo:
Vamos resolver essa desigualdade:
- Encontre as raízes:
- Determine os intervalos onde o produto é positivo:
- Para $ x < \frac{2}{5} $: ambos os fatores são negativos, então o produto é positivo.
- Para $ \frac{2}{5} < x < 3 $: $ 5x - 2 > 0 $ e $ x - 3 < 0 $, produto negativo.
- Para $ x > 3 $: ambos os fatores são positivos, produto positivo.
Resposta: $ x < \frac{2}{5} $ ou $ x > 3 $
Passo 5
a- Condição de existência de $ \log_5 (x^2 + 4x - 5) $
Para o logaritmo existir, o argumento $ x^2 + 4x - 5 $ deve ser positivo:
Vamos resolver essa inequação quadrática.
- Encontre as raízes da equação $ x^2 + 4x - 5 = 0 $:
Portanto, $ x = 1 $ ou $ x = -5 $.
- Determine os intervalos:
- Para $ x < -5 $: $ x^2 + 4x -5 > 0 $
- Para $ -5 < x < 1 $: $ x^2 + 4x -5 < 0 $
- Para $ x > 1 $: $ x^2 + 4x -5 > 0 $
Resposta: $ x < -5 $ ou $ x > 1 $
Passo 6
b- Condição de existência de $ \log (50 - 5x - x^2) $
O argumento do logaritmo deve ser positivo:
Vamos reorganizar:
Multiplicando ambos os lados por -1 (lembrando de inverter a desigualdade):
Vamos resolver a inequação quadrática $ x^2 + 5x - 50 < 0 $.
- Encontre as raízes da equação $ x^2 + 5x - 50 = 0 $:
Portanto, $ x = 5 $ ou $ x = -10 $.
- Determine os intervalos onde $ x^2 + 5x - 50 < 0 $:
- Para $ -10 < x < 5 $: a inequação é satisfeita.
Resposta: $ -10 < x < 5 $
Resposta
a- $ x > 8 $
b- $ x < 1 $
c- $ x < \frac{2}{5} $ ou $ x > 3 $
a- Condição de existência: $ x < -5 $ ou $ x > 1 $
b- Condição de existência: $ -10 < x < 5 $