Determine os valores reais de x para que exista:
a- log2 (x-8)
b- log (1-x)
c- log5(5x-2) + log5 (x-3)
De a condição de existência de:
a- log5 (x elevado a dois + 4x - 5)
b- log (50 - 5x - x ao quadrado)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você trouxe envolve funções logarítmicas e a gente precisa descobrir para quais valores reais de $ x $ essas funções existem. Vamos usar conceitos de domínio das funções logarítmicas e algumas propriedades básicas de logaritmos para resolver cada parte do exercício.

Passo 2

a- $ \log_2 (x - 8) $
Primeiro, para um logaritmo $ \log_b (A) $ existir, o argumento $ A $ precisa ser positivo, ou seja, $ A > 0 $. No nosso caso, $ A = x - 8 $.
Então, temos:
log2 (x - 8)
logb (A)
Resposta: $ x > 8 $

Passo 3

b- $ \log (1 - x) $
Aqui, o logaritmo é na base 10 (pois não foi especificada outra base). Novamente, o argumento precisa ser positivo:
log (1 - x)
1 - x > 0
Multiplicando ambos os lados por -1 (lembrando que isso inverte a desigualdade):
-x > -1
Resposta: $ x < 1 $

Passo 4

c- $ \log_5(5x - 2) + \log_5(x - 3) $
Para a soma de logaritmos da mesma base, podemos combinar usando a propriedade:
log5(5x - 2) + log5(x - 3)
Então,
logb A + logb B = logb (A cdot B)
Para que esse logaritmo exista, o argumento deve ser positivo:
log5[(5x - 2)(x - 3)]
Vamos resolver essa desigualdade:
  1. Encontre as raízes:
(5x - 2)(x - 3) > 0
5x - 2 = 0 Rightarrow x = 25
  1. Determine os intervalos onde o produto é positivo:
  • Para $ x < \frac{2}{5} $: ambos os fatores são negativos, então o produto é positivo.
  • Para $ \frac{2}{5} < x < 3 $: $ 5x - 2 > 0 $ e $ x - 3 < 0 $, produto negativo.
  • Para $ x > 3 $: ambos os fatores são positivos, produto positivo.
Resposta: $ x < \frac{2}{5} $ ou $ x > 3 $

Passo 5

a- Condição de existência de $ \log_5 (x^2 + 4x - 5) $
Para o logaritmo existir, o argumento $ x^2 + 4x - 5 $ deve ser positivo:
log5 (x^2 + 4x - 5)
Vamos resolver essa inequação quadrática.
  1. Encontre as raízes da equação $ x^2 + 4x - 5 = 0 $:
x^2 + 4x - 5
Portanto, $ x = 1 $ ou $ x = -5 $.
  1. Determine os intervalos:
  • Para $ x < -5 $: $ x^2 + 4x -5 > 0 $
  • Para $ -5 < x < 1 $: $ x^2 + 4x -5 < 0 $
  • Para $ x > 1 $: $ x^2 + 4x -5 > 0 $
Resposta: $ x < -5 $ ou $ x > 1 $

Passo 6

b- Condição de existência de $ \log (50 - 5x - x^2) $
O argumento do logaritmo deve ser positivo:
log (50 - 5x - x^2)
Vamos reorganizar:
50 - 5x - x^2 > 0
Multiplicando ambos os lados por -1 (lembrando de inverter a desigualdade):
-x^2 - 5x + 50 > 0
Vamos resolver a inequação quadrática $ x^2 + 5x - 50 < 0 $.
  1. Encontre as raízes da equação $ x^2 + 5x - 50 = 0 $:
x^2 + 5x - 50 < 0
Portanto, $ x = 5 $ ou $ x = -10 $.
  1. Determine os intervalos onde $ x^2 + 5x - 50 < 0 $:
  • Para $ -10 < x < 5 $: a inequação é satisfeita.
Resposta: $ -10 < x < 5 $

Resposta

a- $ x > 8 $
b- $ x < 1 $
c- $ x < \frac{2}{5} $ ou $ x > 3 $
a- Condição de existência: $ x < -5 $ ou $ x > 1 $
b- Condição de existência: $ -10 < x < 5 $

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