Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo y, do conjunto de pontos formados pela função g(x) = 2x6 e o eixo x, para 0≤x≤2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o volume de um sólido que é gerado quando giramos a função $ g(x) = 2x^6 $ em torno do eixo $ y $, no intervalo de $ x = 0 $ até $ x = 2 $. Estamos entrando no campo de Cálculo, mais especificamente na parte de Volumes de Sólidos de Revolução. Para resolver isso, vamos usar o método dos revestimentos cilíndricos, que é bem útil quando a rotação é em torno do eixo $ y $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o método dos revestimentos cilíndricos. Imagine que você está empilhando fatias fininhas do nosso sólido em forma de cilindros. Cada cilindro tem uma altura igual à função $ g(x) = 2x^6 $ e uma circunferência que depende de $ x $. A ideia é somar o volume de todos esses cilindros para obter o volume total do sólido.

Passo 3

Para aplicar o método, precisamos configurar uma integral que representa a soma dos volumes desses cilindros. A fórmula geral para o volume usando revestimentos cilíndricos quando giramos em torno do eixo $ y $ é:
y
Onde:
  • $ V $ é o volume total.
  • $ 2\pi x $ é a circunferência de cada revestimento.
  • $ g(x) $ é a altura do revestimento.
  • $ a $ e $ b $ são os limites de integração, no nosso caso, de 0 a 2.

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores na fórmula. Nosso $ g(x) = 2x^6 $, e os limites de integração são de 0 a 2. Então:
g(x) = 2x^6
Simplificando a expressão dentro da integral:
V = 2pi integral0^2 x cdot 2x^6 , dx
Agora, vamos calcular a integral:
V = 2pi integral0^2 2x^7 , dx = 4pi integral0^2 x^7 , dx
Aplicando os limites de integração:
integral x^7 , dx = x^88 + C

Resposta

O volume do sólido gerado é $ 128\pi $ unidades cúbicas.

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