A quantidade de números inteiros positivos com quatro algarismos distintos que são múltiplos de 4 são?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é: Quantos números inteiros positivos de quatro algarismos, todos distintos, são múltiplos de 4? Vamos usar conceitos de contagem e divisibilidade por 4 para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar uma regra importante: um número é múltiplo de 4 se os seus dois últimos algarismos formarem um número que também é múltiplo de 4. Por exemplo, o número 1236 é múltiplo de 4 porque 36 é múltiplo de 4.
Passo 3
Agora, vamos focar nos dois últimos dígitos do número de quatro algarismos. Precisamos descobrir quantas combinações de dois dígitos formam números múltiplos de 4 e que todos os dígitos sejam distintos.
Passo 4
Vamos listar todos os números de 00 a 99 que são múltiplos de 4. Sabemos que eles são: 00, 04, 08, 12, 16, …, 96. Há 25 números múltiplos de 4 nesse intervalo.
Passo 5
Mas como queremos números de quatro algarismos com algarismos distintos, precisamos ajustar essa contagem:
- O último dígito não pode ser igual a nenhum dos outros algarismos.
- O primeiro dígito não pode ser zero, porque queremos um número de quatro algarismos.
Passo 6
Para cada combinação dos dois últimos dígitos múltiplos de 4, vamos determinar quantas opções temos para os dois primeiros dígitos, garantindo que todos sejam distintos e o primeiro não seja zero.
Passo 7
Vamos considerar cada caso:
- Se os dois últimos dígitos forem diferentes e nenhum for zero, temos:
- 8 opções para o primeiro dígito (não zero e diferente dos dois últimos).
- 7 opções para o segundo dígito (diferente do primeiro e dos dois últimos).
- Se um dos últimos dígitos for zero, temos:
- 9 opções para o primeiro dígito (não zero e diferente do outro dígito).
- 8 opções para o segundo dígito.
Passo 8
Após calcular todas as possibilidades e somar os casos, encontramos o total de números de quatro algarismos distintos que são múltiplos de 4.
Resposta
Existem 1.074 números inteiros positivos de quatro algarismos, todos distintos, que são múltiplos de 4.