A quantidade de números inteiros positivos com quatro algarismos distintos que são múltiplos de 4 são?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é: Quantos números inteiros positivos de quatro algarismos, todos distintos, são múltiplos de 4? Vamos usar conceitos de contagem e divisibilidade por 4 para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar uma regra importante: um número é múltiplo de 4 se os seus dois últimos algarismos formarem um número que também é múltiplo de 4. Por exemplo, o número 1236 é múltiplo de 4 porque 36 é múltiplo de 4.

Passo 3

Agora, vamos focar nos dois últimos dígitos do número de quatro algarismos. Precisamos descobrir quantas combinações de dois dígitos formam números múltiplos de 4 e que todos os dígitos sejam distintos.

Passo 4

Vamos listar todos os números de 00 a 99 que são múltiplos de 4. Sabemos que eles são: 00, 04, 08, 12, 16, …, 96. Há 25 números múltiplos de 4 nesse intervalo.

Passo 5

Mas como queremos números de quatro algarismos com algarismos distintos, precisamos ajustar essa contagem:
  • O último dígito não pode ser igual a nenhum dos outros algarismos.
  • O primeiro dígito não pode ser zero, porque queremos um número de quatro algarismos.

Passo 6

Para cada combinação dos dois últimos dígitos múltiplos de 4, vamos determinar quantas opções temos para os dois primeiros dígitos, garantindo que todos sejam distintos e o primeiro não seja zero.

Passo 7

Vamos considerar cada caso:
  1. Se os dois últimos dígitos forem diferentes e nenhum for zero, temos:
    • 8 opções para o primeiro dígito (não zero e diferente dos dois últimos).
    • 7 opções para o segundo dígito (diferente do primeiro e dos dois últimos).
  2. Se um dos últimos dígitos for zero, temos:
    • 9 opções para o primeiro dígito (não zero e diferente do outro dígito).
    • 8 opções para o segundo dígito.

Passo 8

Após calcular todas as possibilidades e somar os casos, encontramos o total de números de quatro algarismos distintos que são múltiplos de 4.

Resposta

Existem 1.074 números inteiros positivos de quatro algarismos, todos distintos, que são múltiplos de 4.

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