Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo , da região delimitada pelos gráficos das seguintes curvas e retas indicadas: e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para descobrir o volume de um sólido que é gerado quando a região delimitada pelas curvas , pelas retas , e é girada em torno do eixo . Isso está ligado ao conteúdo de Cálculo, especificamente ao cálculo de volumes por rotação. Para resolver isso, vamos precisar utilizar o método das cascas cilíndricas ou o método dos discos, mas aqui vamos usar o método das cascas cilíndricas porque fica mais fácil com as funções dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o método das cascas cilíndricas. Esse método é usado para calcular volumes quando a região está sendo girada em torno de um eixo vertical ou horizontal. A ideia é imaginar a região sendo cortada em fatias verticais (como cascas de cebola) e calcular o volume de cada casca individualmente, depois somar tudo.
Aqui, como estamos girando em torno do eixo (que é basicamente o eixo ), vamos considerar uma fatia vertical em uma posição entre 0 e 3. A altura dessa fatia é dada pela função , e a distância até o eixo de rotação é .
A fórmula para o volume usando o método das cascas cilíndricas é:
Onde:
  • e são os limites de integração (neste caso, 0 e 3).
  • é a distância da casca ao eixo de rotação.
  • é a altura da casca.

Passo 3

Vamos aplicar a fórmula agora. Substituindo por , temos:
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição trigonométrica ou uma substituição simples. Vamos optar por uma substituição simples. Seja , então , ou seja, .
Substituindo na integral:
Calcular os novos limites de integração:
  • Quando , .
  • Quando , .
Então:
Integrando:
Portanto:
Calculando os valores:
Substituindo de volta:

Resposta

O volume do sólido gerado pela rotação é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo , da região delimitada pelos gráficos das seguintes curvas e retas indicadas: e
Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo , da região delimitada pelos gráficos das seguintes curvas e retas indicadas: e
Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo , da região delimitada pelos gráficos das seguintes curvas e retas indicadas: e
Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo , da região delimitada pelos gráficos das seguintes curvas e retas indicadas: e