Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
, da região delimitada pelos gráficos das seguintes curvas e retas indicadas:
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para descobrir o volume de um sólido que é gerado quando a região delimitada pelas curvas
, pelas retas
,
e
é girada em torno do eixo
. Isso está ligado ao conteúdo de Cálculo, especificamente ao cálculo de volumes por rotação. Para resolver isso, vamos precisar utilizar o método das cascas cilíndricas ou o método dos discos, mas aqui vamos usar o método das cascas cilíndricas porque fica mais fácil com as funções dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o método das cascas cilíndricas. Esse método é usado para calcular volumes quando a região está sendo girada em torno de um eixo vertical ou horizontal. A ideia é imaginar a região sendo cortada em fatias verticais (como cascas de cebola) e calcular o volume de cada casca individualmente, depois somar tudo.
Aqui, como estamos girando em torno do eixo
(que é basicamente o eixo
), vamos considerar uma fatia vertical em uma posição
entre 0 e 3. A altura dessa fatia é dada pela função
, e a distância até o eixo de rotação é
.
A fórmula para o volume usando o método das cascas cilíndricas é:
Onde:
-
e são os limites de integração (neste caso, 0 e 3). -
é a distância da casca ao eixo de rotação. -
é a altura da casca.
Passo 3
Vamos aplicar a fórmula agora. Substituindo
por
, temos:
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição trigonométrica ou uma substituição simples. Vamos optar por uma substituição simples. Seja
, então
, ou seja,
.
Substituindo na integral:
Calcular os novos limites de integração:
- Quando
, . - Quando
, .
Então:
Integrando:
Portanto:
Calculando os valores:
Substituindo de volta:
Resposta
O volume do sólido gerado pela rotação é
unidades cúbicas.
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, da região delimitada pelos gráficos das seguintes curvas e retas indicadas:
e
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, da região delimitada pelos gráficos das seguintes curvas e retas indicadas:
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, da região delimitada pelos gráficos das seguintes curvas e retas indicadas:
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