Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
, da região delimitada pelos gráficos das seguintes curvas e retas indicadas:
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir o volume de um sólido que surge quando a região limitada pelas curvas
,
, e pelas retas
e
é girada em torno do eixo
. Vamos usar cálculo integral para resolver isso. Precisaremos entender sobre o método dos discos ou anéis para calcular volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar as curvas e as retas no gráfico para entender a região que estamos trabalhando.
-
é uma função que cresce à medida que aumenta. -
também cresce, mas de forma diferente. - As retas
e delimitam nossa região no eixo x.
Vamos encontrar onde
e
se encontram entre
e
.
Passo 3
Vamos igualar
e
para encontrar o ponto de interseção:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
Rearranjando:
Isso é um quadrado perfeito:
Então, as curvas se interceptam em
.
Passo 4
Agora, sabemos que de
a
,
está acima de
, e de
a
,
está acima de
. Isso é importante para o cálculo usando o método dos anéis (washers).
Passo 5
Para calcular o volume, usaremos a fórmula dos anéis:
Onde:
-
é o raio externo (a maior distância até o eixo de rotação). -
é o raio interno (a menor distância até o eixo de rotação). -
e são os limites de integração (neste caso, a ).
Como estamos girando em torno do eixo
, que é o mesmo que o eixo
, as distâncias são medidas verticalmente.
Passo 6
Vamos dividir o cálculo em duas partes devido à mudança de qual função está acima:
-
De
a : -
-
De
a : -
Passo 7
Agora, vamos montar as integrais para cada intervalo:
Simplificando as potências:
Passo 8
Vamos resolver cada integral separadamente:
- Primeira integral de
a :
Integrando termo a termo:
- Segunda integral de
a :
Integrando termo a termo:
Passo 9
Agora, somamos os resultados das integrais:
Resposta
O volume do sólido gerado é
unidades cúbicas.
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, da região delimitada pelos gráficos das seguintes curvas e retas indicadas:
e
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e
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e
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e