Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo , da região delimitada pelos gráficos das seguintes curvas e retas indicadas: e

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir o volume de um sólido que surge quando a região limitada pelas curvas , , e pelas retas e é girada em torno do eixo . Vamos usar cálculo integral para resolver isso. Precisaremos entender sobre o método dos discos ou anéis para calcular volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar as curvas e as retas no gráfico para entender a região que estamos trabalhando.
  • é uma função que cresce à medida que aumenta.
  • também cresce, mas de forma diferente.
  • As retas e delimitam nossa região no eixo x.
Vamos encontrar onde e se encontram entre e .

Passo 3

Vamos igualar e para encontrar o ponto de interseção:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
Rearranjando:
Isso é um quadrado perfeito:
Então, as curvas se interceptam em .

Passo 4

Agora, sabemos que de a , está acima de , e de a , está acima de . Isso é importante para o cálculo usando o método dos anéis (washers).

Passo 5

Para calcular o volume, usaremos a fórmula dos anéis:
Onde:
  • é o raio externo (a maior distância até o eixo de rotação).
  • é o raio interno (a menor distância até o eixo de rotação).
  • e são os limites de integração (neste caso, a ).
Como estamos girando em torno do eixo , que é o mesmo que o eixo , as distâncias são medidas verticalmente.

Passo 6

Vamos dividir o cálculo em duas partes devido à mudança de qual função está acima:
  1. De a :
  2. De a :

Passo 7

Agora, vamos montar as integrais para cada intervalo:
Simplificando as potências:

Passo 8

Vamos resolver cada integral separadamente:
  1. Primeira integral de a :
Integrando termo a termo:
  1. Segunda integral de a :
Integrando termo a termo:

Passo 9

Agora, somamos os resultados das integrais:

Resposta

O volume do sólido gerado é unidades cúbicas.

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