Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
, da região delimitada pelos gráficos das seguintes curvas e retas indicadas:
e
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o volume de um sólido que é formado ao girar, em torno do eixo
, a região limitada pelas curvas
,
, e pelas retas verticais
e
. Aqui, vamos usar o método dos discos ou anéis (washers) para encontrar o volume.
Passo 2
Primeiro, devemos visualizar a área que será girada. As curvas
e
se encontram no intervalo de
a
. Nesse intervalo,
está acima de
, então a região limitada está entre essas duas curvas e as linhas verticais
e
.
Passo 3
Como vamos girar essa região em torno do eixo
, que é paralelo ao eixo
, podemos usar o método dos anéis. A fórmula geral para o volume
usando esse método é:
Onde:
-
é a função de maior valor (no nosso caso, ). -
é a função de menor valor (no nosso caso, ). -
e são os limites de integração ( e ).
Passo 4
Vamos substituir as funções e os limites na fórmula:
Simplificando as potências:
Passo 5
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Portanto,
Passo 6
Vamos calcular os valores nas extremidades da integração:
Para
:
Para
:
Passo 7
Subtraindo o valor em
de
:
Vamos juntar os termos constantes:
Passo 8
Multiplicando pelo
para obter o volume final:
Resposta
O volume do sólido gerado é:
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Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
, da região delimitada pelos gráficos das seguintes curvas e retas indicadas:
e
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, da região delimitada pelos gráficos das seguintes curvas e retas indicadas:
e
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, da região delimitada pelos gráficos das seguintes curvas e retas indicadas:
e
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, da região delimitada pelos gráficos das seguintes curvas e retas indicadas:
e