Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo , da região delimitada pelos gráficos das seguintes curvas e retas indicadas: e

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o volume de um sólido que é formado ao girar, em torno do eixo , a região limitada pelas curvas , , e pelas retas verticais e . Aqui, vamos usar o método dos discos ou anéis (washers) para encontrar o volume.

Passo 2

Primeiro, devemos visualizar a área que será girada. As curvas e se encontram no intervalo de a . Nesse intervalo, está acima de , então a região limitada está entre essas duas curvas e as linhas verticais e .

Passo 3

Como vamos girar essa região em torno do eixo , que é paralelo ao eixo , podemos usar o método dos anéis. A fórmula geral para o volume usando esse método é:
Onde:
  • é a função de maior valor (no nosso caso, ).
  • é a função de menor valor (no nosso caso, ).
  • e são os limites de integração ( e ).

Passo 4

Vamos substituir as funções e os limites na fórmula:
Simplificando as potências:

Passo 5

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Portanto,

Passo 6

Vamos calcular os valores nas extremidades da integração:
Para :
Para :

Passo 7

Subtraindo o valor em de :
Vamos juntar os termos constantes:

Passo 8

Multiplicando pelo para obter o volume final:

Resposta

O volume do sólido gerado é:

Exercícios relacionados

Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo , da região delimitada pelos gráficos das seguintes curvas e retas indicadas: e
Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo , da região delimitada pelos gráficos das seguintes curvas e retas indicadas: e
Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo , da região delimitada pelos gráficos das seguintes curvas e retas indicadas: e
Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo , da região delimitada pelos gráficos das seguintes curvas e retas indicadas: e