Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo , da região delimitada pelos gráficos das seguintes curvas e retas indicadas: e

Passo 1

Entendendo o Problema
Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o volume de um sólido que é formado ao girar uma região em torno do eixo . A região delimitada pelas curvas , , e pelas retas e está sendo girada. Para resolver isso, vamos usar o método dos discos ou anéis que envolve cálculo de integrais.

Passo 2

Identificando as Funções e os Limites
As funções que delimitam a região são:
E os limites de integração são as retas verticais:
Vamos primeiro identificar qual função está acima da outra no intervalo de a .

Passo 3

Comparando as Funções
Para saber qual função está acima, calculamos seus valores em (por exemplo):
Como , a função está acima de nesse intervalo.

Passo 4

Configurando a Integral para o Volume
Usaremos o método dos anéis, que calcula o volume como a diferença entre os volumes dos discos formados por cada função.
A fórmula geral para o volume é:
Onde:

Passo 5

Montando a Integral
Substituindo as funções e os limites na fórmula:
Vamos expandir e simplificar a expressão dentro da integral:
Então:

Passo 6

Calculando a Integral
Vamos integrar termo a termo:
Onde é a constante de integração, que não precisamos considerar já que vamos calcular o valor definido da integral.
Agora, avaliamos de a :
Simplificando:

Passo 7

Simplificando os Termos
Vamos encontrar um denominador comum para as frações:
Então:

Resposta

O volume do sólido gerado é unidades cúbicas.

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Encontre a solução do P.V.I e faça um esboço do gráfico: ;
Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais. Indique a solução particular da equação não homogênea: ,