Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
, da região delimitada pelos gráficos das seguintes curvas e retas indicadas:
e
Passo 1
Entendendo o Problema
Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o volume de um sólido que é formado ao girar uma região em torno do eixo
. A região delimitada pelas curvas
,
, e pelas retas
e
está sendo girada. Para resolver isso, vamos usar o método dos discos ou anéis que envolve cálculo de integrais.
Passo 2
Identificando as Funções e os Limites
As funções que delimitam a região são:
E os limites de integração são as retas verticais:
Vamos primeiro identificar qual função está acima da outra no intervalo de
a
.
Passo 3
Comparando as Funções
Para saber qual função está acima, calculamos seus valores em
(por exemplo):
Como
, a função
está acima de
nesse intervalo.
Passo 4
Configurando a Integral para o Volume
Usaremos o método dos anéis, que calcula o volume como a diferença entre os volumes dos discos formados por cada função.
A fórmula geral para o volume
é:
Onde:
Passo 5
Montando a Integral
Substituindo as funções e os limites na fórmula:
Vamos expandir e simplificar a expressão dentro da integral:
Então:
Passo 6
Calculando a Integral
Vamos integrar termo a termo:
Onde
é a constante de integração, que não precisamos considerar já que vamos calcular o valor definido da integral.
Agora, avaliamos de
a
:
Simplificando:
Passo 7
Simplificando os Termos
Vamos encontrar um denominador comum para as frações:
Então:
Resposta
O volume do sólido gerado é
unidades cúbicas.
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Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
, da região delimitada pelos gráficos das seguintes curvas e retas indicadas:
e
Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
, da região delimitada pelos gráficos das seguintes curvas e retas indicadas:
e
Encontre a solução do P.V.I e faça um esboço do gráfico:
;
Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais. Indique a solução particular da equação não homogênea:
,