Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno a reta
, da região limitada pelas parábolas
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que resulta da rotação de uma região em torno da reta
. A região está limitada pelas parábolas
e
. Para isso, vamos usar o método dos discos ou anéis, que nos ajuda a calcular volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender onde essas parábolas se interceptam para saber os limites de integração. Vamos igualar as duas equações:
Resolvendo essa equação:
Multiplicando por -1 para facilitar:
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos dois valores de
:
Portanto, os limites de integração vão de
a
.
Passo 3
Agora, vamos visualizar o sólido. Como vamos girar a região em torno da reta
, precisamos calcular a distância de cada função até essa reta. Para isso, usamos a fórmula da distância entre dois pontos na direção x:
As funções dadas são
e
. Precisamos identificar qual está mais à direita e qual está mais à esquerda no intervalo de integração.
Passo 4
Vamos comparar os valores das funções no intervalo
a
:
- Para
: Aqui, está à direita de . - Para
: Ainda, está à direita. - Para
: As duas funções são iguais.
Então,
é a função mais à direita e
é a mais à esquerda no nosso intervalo.
Passo 5
Agora, vamos aplicar o método dos anéis. A fórmula para o volume é:
Onde:
-
é a distância do eixo de rotação �� função externa ( ) -
é a distância do eixo de rotação à função interna ( )
Calculando as distâncias:
Passo 6
Agora, substituímos na fórmula do volume:
Vamos expandir os termos:
Subtraindo:
Passo 7
Agora, a integral fica:
Vamos integrar termo a termo:
Então, a primitiva é:
Passo 8
Agora, avaliamos a primitiva nos limites de
e
:
Calculando cada parte:
Para :
Para
Para
:
Subtraindo:
Resposta
O volume do sólido gerado é aproximadamente
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
, do conjunto de todos os para
tais que
h) e
.
h)
Determine o comprimento da curva polar em
:
(a)
(b)
©
(a)
(b)
©
Determine a área da região delimitada pela curva:
(b)
(b)
Determine a área da região que está dentro de ambas as curvas.
(a) e
(b) e
© e
(d) e
(e) e
(f) e
e
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)