Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno a reta , da região limitada pelas parábolas e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que resulta da rotação de uma região em torno da reta . A região está limitada pelas parábolas e . Para isso, vamos usar o método dos discos ou anéis, que nos ajuda a calcular volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender onde essas parábolas se interceptam para saber os limites de integração. Vamos igualar as duas equações:
Resolvendo essa equação:
Multiplicando por -1 para facilitar:
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos dois valores de :
Portanto, os limites de integração vão de a .

Passo 3

Agora, vamos visualizar o sólido. Como vamos girar a região em torno da reta , precisamos calcular a distância de cada função até essa reta. Para isso, usamos a fórmula da distância entre dois pontos na direção x:
éçãàéçãà
As funções dadas são e . Precisamos identificar qual está mais à direita e qual está mais à esquerda no intervalo de integração.

Passo 4

Vamos comparar os valores das funções no intervalo a :
  • Para : Aqui, está à direita de .
  • Para : Ainda, está à direita.
  • Para : As duas funções são iguais.
Então, é a função mais à direita e é a mais à esquerda no nosso intervalo.

Passo 5

Agora, vamos aplicar o método dos anéis. A fórmula para o volume é:
Onde:
  • é a distância do eixo de rotação �� função externa ( )
  • é a distância do eixo de rotação à função interna ( )
Calculando as distâncias:

Passo 6

Agora, substituímos na fórmula do volume:
Vamos expandir os termos:
Subtraindo:

Passo 7

Agora, a integral fica:
Vamos integrar termo a termo:
Então, a primitiva é:

Passo 8

Agora, avaliamos a primitiva nos limites de e :
Calculando cada parte:
Para :
Para :
Subtraindo:

Resposta

O volume do sólido gerado é aproximadamente unidades cúbicas.

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Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo , do conjunto de todos os para tais que
h) e .
Determine o comprimento da curva polar em :
(a)
(b)
©
Determine a área da região delimitada pela curva:
(b)
Determine a área da região que está dentro de ambas as curvas.
(a) e
(b) e
© e
(d) e
(e) e
(f) e e .