Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo , do conjunto de todos os para tais que
h) e .

Passo 1

Beleza, vou te ajudar a resolver esse exercício de cálculo que envolve geometria e integração! A pergunta pede para encontrar o volume de um sólido que é formado ao girar uma região específica em torno do eixo . Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular volumes de sólidos de revolução usando o método dos discos ou anéis.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região que estamos girando. A região está definida por duas condições:
  1. — isso significa que vai de 0 até , ou seja, estamos falando da parte acima do eixo e abaixo da linha .
  2. — isso descreve um círculo com raio centrado na origem.
Então, estamos olhando para a parte do círculo que está entre e .

Passo 3

Para encontrar o volume do sólido gerado pela rotação dessa região em torno do eixo , vamos usar o método dos discos. Esse método consiste em imaginar o sólido como sendo composto por muitos discos circulares empilhados ao longo do eixo de rotação.
A fórmula geral para o volume usando discos é:
Aqui, é o raio externo e é o raio interno do disco em cada ponto .

Passo 4

Vamos identificar e para o nosso problema:
  • Raio externo : É a função que descreve a borda externa da região que está sendo girada. No nosso caso, é a parte do círculo . Resolvendo para , temos:
  • Raio interno : É a função que descreve a borda interna da região. Aqui, é simplesmente a linha .

Passo 5

Agora, vamos determinar os limites de integração e . Esses limites correspondem aos valores de onde as duas curvas se encontram. Para encontrar esses pontos de interseção, igualamos as duas expressões para :
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Então, os limites de integração são de a .

Passo 6

Agora, substituímos , e os limites na fórmula do volume:
Simplificando os termos:

Passo 7

Agora, vamos integrar a função em relação a de 0 a 1:

Resposta

O volume do sólido gerado é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Determine o comprimento da curva polar em :
(a)
(b)
©
Determine a área da região que está dentro de ambas as curvas.
© e
Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno a reta , da região limitada pelas parábolas e .
Determine a área da região delimitada pela curva:
(b)