Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
, do conjunto de todos os para
tais que
h)
e
.
h)
Passo 1
Beleza, vou te ajudar a resolver esse exercício de cálculo que envolve geometria e integração! A pergunta pede para encontrar o volume de um sólido que é formado ao girar uma região específica em torno do eixo
. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular volumes de sólidos de revolução usando o método dos discos ou anéis.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região que estamos girando. A região está definida por duas condições:
-
— isso significa que vai de 0 até , ou seja, estamos falando da parte acima do eixo e abaixo da linha . -
— isso descreve um círculo com raio centrado na origem.
Então, estamos olhando para a parte do círculo
que está entre
e
.
Passo 3
Para encontrar o volume do sólido gerado pela rotação dessa região em torno do eixo
, vamos usar o método dos discos. Esse método consiste em imaginar o sólido como sendo composto por muitos discos circulares empilhados ao longo do eixo de rotação.
A fórmula geral para o volume usando discos é:
Aqui,
é o raio externo e
é o raio interno do disco em cada ponto
.
Passo 4
Vamos identificar
e
para o nosso problema:
- Raio externo
: É a função que descreve a borda externa da região que está sendo girada. No nosso caso, é a parte do círculo . Resolvendo para , temos:
- Raio interno
: É a função que descreve a borda interna da região. Aqui, é simplesmente a linha .
Passo 5
Agora, vamos determinar os limites de integração
e
. Esses limites correspondem aos valores de
onde as duas curvas se encontram. Para encontrar esses pontos de interseção, igualamos as duas expressões para
:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Então, os limites de integração são de
a
.
Passo 6
Agora, substituímos
,
e os limites na fórmula do volume:
Simplificando os termos:
Passo 7
Agora, vamos integrar a função
em relação a
de 0 a 1:
Resposta
O volume do sólido gerado é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Determine o comprimento da curva polar em
:
(a)
(b)
©
(a)
(b)
©
Determine a área da região que está dentro de ambas as curvas.
© e
©
Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno a reta
, da região limitada pelas parábolas
e
.
Determine a área da região delimitada pela curva:
(b)
(b)