Determine a área da região delimitada pela curva:
(b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a área da região delimitada pela curva . Esse tipo de problema pertence à geometria polar, que é uma forma de representar curvas no plano usando coordenadas radiais e angulares. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula da área em coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula para calcular a área em coordenadas polares. A área de uma curva de a é dada por:
Então, nossa missão é identificar os limites de que delimitam uma área completa da curva .

Passo 3

Vamos analisar a curva . Esse tipo de curva é conhecida como cardioide. Para encontrar os limites de integração, precisamos determinar os valores de onde a curva completa um ciclo completo, ou seja, onde ela começa e termina no mesmo ponto.

Passo 4

Como o seno tem período , a curva também terá um período de . Isso significa que para variando de a , a curva completa uma volta completa. Portanto, os limites de integração serão de a .

Passo 5

Agora, vamos aplicar a fórmula da área com nossa função e os limites a :
Primeiro, vamos expandir o quadrado para facilitar a integração:

Passo 6

Substituindo na integral, temos:
Vamos separar a integral em três partes:

Passo 7

Calculando cada integral separadamente:
  1. (porque )
  2. Para , usamos a identidade trigonométrica :

Passo 8

Agora, substituindo os resultados na expressão da área:

Resposta

A área da região delimitada pela curva é unidades de área.

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Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno a reta , da região limitada pelas parábolas e .
Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo , do conjunto de todos os para tais que
h) e .
Determine a área da região que está dentro de ambas as curvas.
(a) e
(b) e
© e
(d) e
(e) e
(f) e e .
Determine o comprimento das curvas abaixo:
(a) .
(b) .
© .
(d) .
(e) .