Determine a área da região delimitada pela curva:
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a área da região delimitada pela curva . Esse tipo de problema pertence à geometria polar, que é uma forma de representar curvas no plano usando coordenadas radiais e angulares. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula da área em coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula para calcular a área em coordenadas polares. A área de uma curva de a é dada por:
Então, nossa missão é identificar os limites de que delimitam uma área completa da curva .
Passo 3
Vamos analisar a curva . Esse tipo de curva é conhecida como cardioide. Para encontrar os limites de integração, precisamos determinar os valores de onde a curva completa um ciclo completo, ou seja, onde ela começa e termina no mesmo ponto.
Passo 4
Como o seno tem período , a curva também terá um período de . Isso significa que para variando de a , a curva completa uma volta completa. Portanto, os limites de integração serão de a .
Passo 5
Agora, vamos aplicar a fórmula da área com nossa função e os limites a :
Primeiro, vamos expandir o quadrado para facilitar a integração:
Passo 6
Substituindo na integral, temos:
Vamos separar a integral em três partes:
Passo 7
Calculando cada integral separadamente:
(porque )
Para , usamos a identidade trigonométrica :
Passo 8
Agora, substituindo os resultados na expressão da área:
Resposta
A área da região delimitada pela curva é unidades de área.