Encontre a transformada de Laplace da função dada, sendo a e b constantes ambas diferentes de zero. Lembre-se que cosh (x)=e^x+e^-x2 e senh(x)=e^x-e^-x2.
f(t)=t e^a t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a transformada de Laplace da função , onde e são constantes diferentes de zero. A transformada de Laplace é uma ferramenta matemática usada para transformar funções do tempo para o domínio da frequência , facilitando a resolução de equações diferenciais, por exemplo. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a definição da transformada de Laplace e algumas propriedades básicas relacionadas a funções exponenciais e polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição da transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função Lf(t) = integral0^infty e^-s t f(t) , dt é dada por:
Lt e^a t = integral0^infty e^-s t cdot t e^a t , dt = integral0^infty t e^(a - s) t , dt
No nosso caso, . Então, substituindo na definição:

Passo 3

Agora, vamos resolver a integral integral t e^k t , dt = t e^k tk - e^k tk^2 + C . Para isso, sabemos que a integral de onde é uma constante, pode ser resolvida usando integraç��o por partes. Lembrando que:
Mas como estamos calculando uma integral definida de 0 a , precisamos avaliar os limites após a integração.

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral0^infty t e^(a - s) t , dt = [ t e^(a - s) ta - s - e^(a - s) t(a - s)^2 ]0^infty
Vamos avaliar cada termo nos limites de 0 a . Para que a integral convirja, precisamos que , garantindo que é negativo e tende a zero quando tende ao infinito.

Passo 5

Ao avaliar os limites:
  • No limite t e^(a - s) ta - s to 0 e e^(a - s) t(a - s)^2 to 0 : 0 cdot e^0a - s = 0 e e^0(a - s)^2 = 1(a - s)^2
  • No limite 0 - ( 0 - 1(a - s)^2 ) = 1(s - a)^2 :
Portanto, substituindo os limites:

Resposta

A transformada de Laplace de Lt e^a t = 1(s - a)^2, para Re(s) > a é:

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