Encontre a transformada de Laplace da função dada, sendo
e
constantes ambas diferentes de zero. Lembre-se que
e
.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a transformada de Laplace da função
, onde
e
são constantes diferentes de zero. A transformada de Laplace é uma ferramenta matemática usada para transformar funções do tempo
para o domínio da frequência
, facilitando a resolução de equações diferenciais, por exemplo. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a definição da transformada de Laplace e algumas propriedades básicas relacionadas a funções exponenciais e polinomiais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição da transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função
é dada por:
No nosso caso,
. Então, substituindo na definição:
Passo 3
Agora, vamos resolver a integral
. Para isso, sabemos que a integral de
onde
é uma constante, pode ser resolvida usando integraç��o por partes. Lembrando que:
Mas como estamos calculando uma integral definida de 0 a
, precisamos avaliar os limites após a integração.
Passo 4
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Vamos avaliar cada termo nos limites de 0 a
. Para que a integral convirja, precisamos que
, garantindo que
é negativo e
tende a zero quando
tende ao infinito.
Passo 5
Ao avaliar os limites:
- No limite
: - No limite
:
Portanto, substituindo os limites:
Resposta
A transformada de Laplace de
é:
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Determine o volume dos sólido limitado pela superfície
e pelos planos
.
Seja
dada por
e
se
e
.
Qual o domínio de ?
Qual o domínio de
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