Determine
em cada um dos itens.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada de
. Estamos lidando com cálculo, mais especificamente com derivadas de funções que envolvem potências e funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar a derivação logarítmica, que é super útil quando temos funções complicadas elevadas a potências que também dependem de
.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural nos dois lados da equação para facilitar a derivação:
Passo 3
Usando a propriedade dos logaritmos que permite trazer o expoente para frente, temos:
Passo 4
Agora, vamos diferenciar ambos os lados em relação a
. Lembrando que a derivada de
com relação a
é
, e vamos aplicar a regra do produto no lado direito:
Passo 5
Calculando cada derivada individualmente:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
envolve a regra da cadeia: - Derivada de
é . - Aqui,
, então .
- Derivada de
Então:
Passo 6
Substituindo as derivadas encontradas de volta na equação:
Simplificando:
Passo 7
Para encontrar
, multiplicamos ambos os lados por
:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
A derivada de
em relação a
é:
Exercícios relacionados
Calcule os seguintes limites.
Determine
em cada um dos itens.
(a)
Determine o diferencial total da função
b)
b)