Utilize o teste dos caminhos para provar a não existência dos seguintes limites:
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para provar que o limite não existe usando o teste dos caminhos. Esse tipo de problema está na área de cálculo multivariável, mais especificamente em limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender o que significa o limite existir e como o teste dos caminhos pode nos ajudar a verificar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa o limite de uma função de duas variáveis existir em um ponto. O limite existe se, independentemente de como nos aproximamos do ponto , o valor de se aproxima de um único número.
Passo 3
O teste dos caminhos consiste em calcular o limite da função ao longo de diferentes trajetórias que levam ao ponto . Se encontrarmos dois caminhos que resultam em limites diferentes, isso prova que o limite geral não existe.
Passo 4
Vamos escolher dois caminhos simples para nos aproximarmos de :
Caminho 1:
Substituindo na função, temos:
Portanto, o limite ao longo desse caminho é .
Caminho 2:
Substituindo na função, temos:
Portanto, o limite ao longo desse caminho é .
Passo 5
Como obtivemos limites diferentes ao seguirmos dois caminhos distintos ( e ), concluímos que o limite geral não existe.
Resposta
O limite não existe, pois diferentes trajetórias levam a valores de limite distintos.