(2,0) Utilize o teste dos caminhos para provar a não existência dos seguintes limites:
(a) lim (x, y) (0,0) 2 x yx^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para provar que o limite não existe usando o teste dos caminhos. Esse tipo de problema está na área de cálculo multivariável, mais especificamente em limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender o que significa o limite existir e como o teste dos caminhos pode nos ajudar a verificar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa o limite de uma função de duas variáveis existir em um ponto. O limite existe se, independentemente de como nos aproximamos do ponto , o valor de se aproxima de um único número.

Passo 3

O teste dos caminhos consiste em calcular o limite da função ao longo de diferentes trajetórias que levam ao ponto . Se encontrarmos dois caminhos que resultam em limites diferentes, isso prova que o limite geral não existe.

Passo 4

Vamos escolher dois caminhos simples para nos aproximarmos de 2x cdot 0x^2 + 0^2 = 0x^2 = 0 :
  1. Caminho 1: 2x cdot xx^2 + x^2 = 2x^22x^2 = 1
    Substituindo na função, temos:
    Portanto, o limite ao longo desse caminho é .
  2. Caminho 2:
    Substituindo na função, temos:
    Portanto, o limite ao longo desse caminho é .

Passo 5

Como obtivemos limites diferentes ao seguirmos dois caminhos distintos ( e ), concluímos que o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe, pois diferentes trajetórias levam a valores de limite distintos.

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Determine y' em cada um dos itens. y = (cos(3x))^(5/x)
Calcule os seguintes limites. lim x 0(e^x+x)^12 x
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b) z = 3 ln(x y) + y sen(x)
(2,0) Verifique se a função dada por
f(x)= sen(x^2+y^2)x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 1, & se (x, y)=(0,0)
é contínua no ponto P=(0,0).