Calcule os seguintes limites.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A gente precisa encontrar o limite quando
se aproxima de 0 para a expressão
. Para isso, vamos usar alguns conceitos de cálculo, como limites e propriedades dos logaritmos, além de expansões em séries de Taylor para simplificar as coisas.
Passo 2
Primeiro, para facilitar o cálculo desse limite que está na forma de potência, vamos aplicar o logaritmo natural. Isso porque o logaritmo transforma potências em multiplicações, o que simplifica bastante a resolução. Então, vamos considerar:
Onde
é o limite que queremos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos expandir
usando a série de Taylor perto de
. Sabemos que:
Então, somando
na expressão:
Passo 4
Com essa aproximação, vamos calcular o logaritmo natural de
:
Para
próximo de 0, podemos usar a expansão do logaritmo:
Onde
. Então:
Passo 5
Substituindo de volta na expressão do logaritmo do limite:
Passo 6
Agora que encontramos que
, vamos desfazer o logaritmo para achar
:
Resposta
O limite é
.
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Determine
em cada um dos itens.
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(a)