Calcule os seguintes limites. lim x 0(e^x+x)^12 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A gente precisa encontrar o limite quando se aproxima de 0 para a expressão . Para isso, vamos usar alguns conceitos de cálculo, como limites e propriedades dos logaritmos, além de expansões em séries de Taylor para simplificar as coisas.

Passo 2

Primeiro, para facilitar o cálculo desse limite que está na forma de potência, vamos aplicar o logaritmo natural. Isso porque o logaritmo transforma potências em multiplicações, o que simplifica bastante a resolução. Então, vamos considerar:
ln L = limx to 0 ln(e^x + x)2x
Onde é o limite que queremos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos expandir e^x = 1 + x + x^22 + dots usando a série de Taylor perto de e^x + x = (1 + x + x^22 + dots) + x = 1 + 2x + x^22 + dots . Sabemos que:
Então, somando na expressão:

Passo 4

Com essa aproximação, vamos calcular o logaritmo natural de ln(e^x + x) approx ln(1 + 2x + x^22) :
ln(1 + y) approx y - y^22 + dots
Para ln(1 + 2x + x^22) approx 2x + x^22 - (2x)^22 = 2x + x^22 - 2x^2 = 2x - 3x^22 próximo de 0, podemos usar a expansão do logaritmo:
Onde . Então:

Passo 5

Substituindo de volta na expressão do logaritmo do limite:
ln L = limx to 0 2x - 3x^222x = limx to 0 (1 - 3x4) = 1

Passo 6

Agora que encontramos que L = e^ln L = e^1 = e , vamos desfazer o logaritmo para achar :

Resposta

O limite é .

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(2,0) Utilize o teste dos caminhos para provar a não existência dos seguintes limites:
(a) lim (x, y) (0,0) 2 x yx^2+y^2