Quais devem ser os valores das constantes
lim x infty a x^2-3 x+7b x-5=11

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores das constantes lim x infty a x^2-3 x+7b x-5=11 e na seguinte expressão de limite:
Aqui, estamos trabalhando com limites de funções racionais, ou seja, frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver, vamos precisar entender como o comportamento das funções polinomiais muda conforme vai para infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o grau do polinômio no numerador e no denominador. O grau de um polinômio é o maior expoente de presente nele.
  • No numerador, temos , que é um polinômio de grau 2.
  • No denominador, temos , que é um polinômio de grau 1.
Quando o grau do numerador é maior que o grau do denominador, o limite tende ao infinito (positivo ou negativo), dependendo dos coeficientes. Mas no nosso caso, queremos que o limite seja um número finito, 11. Isso só é possível se o coeficiente do termo de maior grau no numerador for zero, ou seja, .

Passo 3

Com lim x infty 0 cdot x^2-3 x+7b x-5 = lim x infty -3x + 7b x - 5 , a expressão do limite fica mais simples:
lim x infty -3x + 7b x - 5 = -3b = 11
Agora, tanto o numerador quanto o denominador são polinômios de grau 1. Nesses casos, o limite é igual à razão dos coeficientes dos termos de maior grau. Ou seja:

Passo 4

Agora, basta resolver a equação -3 = 11b para encontrar o valor de b = -311 .
Multiplicando ambos os lados por :
Dividindo ambos os lados por 11:

Resposta

Os valores das constantes são:
a = 0 e b = -311

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