As curvas com equações são chamadas, com c , curvas ponta de bala. (a) Encontre o domínio. (b) O que ocorre quando x se aproxima dos extremos do domínio? © faça um esboço (grosseiro) do gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre curvas chamadas “curvas ponta de bala” com a equação , onde . A gente vai precisar entender o domínio dessa função, o que acontece nos limites do domínio e, por fim, fazer um esboço do gráfico. Vamos passo a passo!

Passo 2

(a) Encontrar o domínio da função
Primeiro, o que é domínio? É o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Na nossa equação , temos que:
  1. O denominador precisa ser positivo e diferente de zero (porque não dá pra dividir por zero).
  2. Dentro da raiz quadrada, a expressão tem que ser maior que zero para a raiz ser real.
Então, vamos resolver:
Isso quer dizer que deve estar entre e .

Passo 3

(b) O que ocorre quando se aproxima dos extremos do domínio
Agora, vamos ver o que acontece com quando se aproxima de ou de .
Vamos calcular o limite:
E igualmente:
Isso significa que conforme se aproxima de ou de , o valor de cresce sem limite, ou seja, tende ao infinito.

Passo 4

© Esboço do gráfico
Vamos visualizar como é o gráfico da função :
  • Domínio:
  • Ponto de origem: Quando , (ponto ).
  • Assíntotas verticais: Em e , onde a função tende ao infinito.
  • Simetria: A função é simétrica em relação ao eixo porque está usando o valor absoluto de .
Então, o gráfico terá duas “ramificações” que começam na origem e se aproximam das linhas verticais e , subindo cada vez mais sem limite conforme chegam nesses pontos.

Resposta

(a) O domínio é .
(b) Quando se aproxima de ou de , a função tende ao infinito.
© O gráfico consiste em duas ramificações simétricas em relação ao eixo , começando na origem e subindo verticalmente próximo a e .

Exercícios relacionados

Ache os valores das constantes
Quais devem ser os valores das constantes
Se , então
Mesmo que esta função não seja uma função usual ou conhecida.
Use este resultado para calcular sabendo que, para todo ,
A equação de uma reta que passa pelos pontos e é:
onde m é a declividade (ou inclinação da reta ou…) e é dada por .
Quando deixamos A fixo e fazemos B se aproximar de A , a reta passa a ser tangente. Isto é, . Encontre a equação da reta tangente à curva: (a) , no ponto em que . (b) , no ponto em que .