As curvas com equações
são chamadas, com c
, curvas ponta de bala. (a) Encontre o domínio. (b) O que ocorre quando x se aproxima dos extremos do domínio? © faça um esboço (grosseiro) do gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre curvas chamadas “curvas ponta de bala” com a equação
, onde
. A gente vai precisar entender o domínio dessa função, o que acontece nos limites do domínio e, por fim, fazer um esboço do gráfico. Vamos passo a passo!
Passo 2
(a) Encontrar o domínio da função
Primeiro, o que é domínio? É o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Na nossa equação
, temos que:
- O denominador
precisa ser positivo e diferente de zero (porque não dá pra dividir por zero). - Dentro da raiz quadrada, a expressão
tem que ser maior que zero para a raiz ser real.
Então, vamos resolver:
Isso quer dizer que
deve estar entre
e
.
Passo 3
(b) O que ocorre quando
se aproxima dos extremos do domínio
Agora, vamos ver o que acontece com
quando
se aproxima de
ou de
.
Vamos calcular o limite:
E igualmente:
Isso significa que conforme
se aproxima de
ou de
, o valor de
cresce sem limite, ou seja, tende ao infinito.
Passo 4
© Esboço do gráfico
Vamos visualizar como é o gráfico da função
:
- Domínio:
- Ponto de origem: Quando
, (ponto ). - Assíntotas verticais: Em
e , onde a função tende ao infinito. - Simetria: A função é simétrica em relação ao eixo
porque está usando o valor absoluto de .
Então, o gráfico terá duas “ramificações” que começam na origem e se aproximam das linhas verticais
e
, subindo cada vez mais sem limite conforme chegam nesses pontos.
Resposta
(a) O domínio é
.
(b) Quando
se aproxima de
ou de
, a função tende ao infinito.
© O gráfico consiste em duas ramificações simétricas em relação ao eixo
, começando na origem e subindo verticalmente próximo a
e
.