Ache os valores das constantes

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado apresenta uma função definida por partes e pede para a gente encontrar os valores das constantes e . A matéria que vamos precisar aqui é de funções definidas por partes e continuidade. Vamos precisar garantir que a função não tenha “quebras” nos pontos onde ela muda de expressão, ou seja, em e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a função ser contínua nesses pontos. Continuidadede uma função significa que ela não tem saltos ou buracos no gráfico. Para garantir isso, os limites laterais nas mudanças de partes devem ser iguais. Ou seja, o valor que a função se aproxima quando chega a pela esquerda deve ser igual ao valor que ela assume exatamente em , e o mesmo para .

Passo 3

Vamos aplicar isso ao nosso caso. Temos três expressões para :
  1. quando
  2. quando
  3. quando
Vamos garantir que a função seja contínua em e .

Passo 4

Primeiro, vamos analisar em :
O limite quando se aproxima de pela esquerda (usando a primeira expressão):
O valor da função exatamente em (usando a segunda expressão):
Para ser contínua em , esses dois devem ser iguais:

Passo 5

Agora, vamos analisar em :
O valor da função exatamente em (usando a segunda expressão):
O limite quando se aproxima de pela direita (usando a terceira expressão):
Para ser contínua em , esses dois devem ser iguais:

Passo 6

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema para encontrar e .

Passo 7

Primeiro, simplificamos a primeira equação:
Vamos levar todos os termos para um lado:
\quad (Equação 1)
Agora, a segunda equação:
Levar todos os termos para um lado:
\quad (Equação 2)

Passo 8

Agora, temos o sistema:
Podemos resolver esse sistema usando o método da substituição ou da combinação. Vamos usar a combinação (eliminação).

Passo 9

Vamos multiplicar a Equação 2 por 3 para facilitar a eliminação:
\quad (Equação 3)
E a Equação 1 multiplicada por 2:
\quad (Equação 4)

Passo 10

Agora, vamos subtrair a Equação 3 da Equação 4:
\quad (Equação 5)

Passo 11

Agora, vamos resolver a Equação 5 para :
Agora, substituímos na Equação 2:

Passo 12

Agora que temos , vamos encontrar usando :

Resposta

As constantes são e .

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Se , então
Mesmo que esta função não seja uma função usual ou conhecida.
Use este resultado para calcular sabendo que, para todo ,