Vamos resolver um exercício sobre funções de distribuição acumulada (FDA) e outras propriedades relacionadas a variáveis aleatórias contínuas. Precisamos calcular probabilidades, encontrar durações específicas, obter a função densidade de probabilidade (FDP) e calcular o valor esperado de uma função aplicada à variável aleatória. Vamos usar conceitos de estatística e probabilidade para resolver cada parte.
Passo 2
Parte (a): Calcular $ \mathbf{P}(0,5 \leq X \leq 1) $.
Primeiro, vamos entender que $ \mathbf{P}(a \leq X \leq b) $ é a probabilidade de a variável $ X $ estar entre $ a $ e $ b $. Para isso, usamos a função de distribuição acumulada $ F(x) $.
Passo 3
A probabilidade $ \mathbf{P}(0,5 \leq X \leq 1) $ é dada por $ F(1) - F(0,5) $. Vamos calcular cada parte usando a FDA fornecida:
A FDP $ f(x) $ é a derivada da função de distribuição acumulada $ F(x) $.
Passo 8
Derivando $ F(x) $:
Para $ x < 0 $:
F(x)
Para $ 0 \leq x < 2 $:
x < 0
Para $ x \geq 2 $:
F(x) = 0 Rightarrow f(x) = 0
Passo 9
Então, a função densidade de probabilidade é:
f(x) = 0 & x < 0 x2 & 0 <= x < 2 0 & x >= 2
Passo 10
Parte (d): Calcular a cobrança esperada $ \mathbf{E}(h(X)) $, onde $ h(X) = X^2 $.
A expectativa $ \mathbf{E}(h(X)) $ é a média ponderada de $ h(X) $ em relação à densidade de probabilidade $ f(x) $. Para isso, integramos $ h(x) \times f(x) $ sobre todo o domínio de $ X $.
Passo 11
Como $ f(x) $ é diferente de zero apenas entre 0 e 2, a expectativa é:
f(x)
Passo 12
Calculando a integral:
12 [ x^44 ]0^2 = 12 ( 164 - 0 ) = 12 cdot 4 = 2
Resposta
(a) $ \mathbf{P}(0,5 \leq X \leq 1) = \frac{3}{16} $
(b) A duração é aproximadamente $ 1,414 $ unidades de tempo.