(Devore e Cordeiro, 2014) Seja X a quantidade de tempo que um livro retirado num sistema de F(x)= 0 & x<0 x^24 & 0 <= x<2 1 & x >= 2
(a) Calcule P(0,5 <= X <= 1).
(b) Qual a duração do empréstimo onde 50 % das devolverão o livro antes ?
© Obtenha a função densidade de probabilidade dessa variável.
(d) Se o valor cobrado do indivíduo que retira o livro for h(X)=X^2 quando a duração do empréstimo for X, calcule a cobrança esperada E(h(X)).

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre funções de distribuição acumulada (FDA) e outras propriedades relacionadas a variáveis aleatórias contínuas. Precisamos calcular probabilidades, encontrar durações específicas, obter a função densidade de probabilidade (FDP) e calcular o valor esperado de uma função aplicada à variável aleatória. Vamos usar conceitos de estatística e probabilidade para resolver cada parte.

Passo 2

Parte (a): Calcular $ \mathbf{P}(0,5 \leq X \leq 1) $.
Primeiro, vamos entender que $ \mathbf{P}(a \leq X \leq b) $ é a probabilidade de a variável $ X $ estar entre $ a $ e $ b $. Para isso, usamos a função de distribuição acumulada $ F(x) $.

Passo 3

A probabilidade $ \mathbf{P}(0,5 \leq X \leq 1) $ é dada por $ F(1) - F(0,5) $. Vamos calcular cada parte usando a FDA fornecida:
Para $ 0 \leq x < 2 $, $ F(x) = \frac{x^2}{4} $.
Então:
  • $ F(1) = \frac{1^2}{4} = \frac{1}{4} $
  • $ F(0,5) = \frac{(0,5)^2}{4} = \frac{0,25}{4} = \frac{1}{16} $

Passo 4

Agora, subtraímos os dois valores:
P(0,5 <= X <= 1) = F(1) - F(0,5) = 14 - 116 = 416 - 116 = 316

Passo 5

Parte (b): Encontrar a duração do empréstimo onde 50% devolverão o livro antes.
Isso significa que queremos encontrar o valor $ x $ tal que $ F(x) = 0,5 $. Essencialmente, estamos procurando a mediana da distribuição.

Passo 6

Sabemos que para $ 0 \leq x < 2 $, $ F(x) = \frac{x^2}{4} $. Então, igualamos isso a 0,5:
0 <= x < 2
Multiplicando ambos os lados por 4:
F(x) = x^24
Então, tiramos a raiz quadrada:
x^24 = 0,5

Passo 7

Parte ©: Obter a função densidade de probabilidade (FDP) dessa variável.
A FDP $ f(x) $ é a derivada da função de distribuição acumulada $ F(x) $.

Passo 8

Derivando $ F(x) $:
Para $ x < 0 $:
F(x)
Para $ 0 \leq x < 2 $:
x < 0
Para $ x \geq 2 $:
F(x) = 0 Rightarrow f(x) = 0

Passo 9

Então, a função densidade de probabilidade é:
f(x) = 0 & x < 0 x2 & 0 <= x < 2 0 & x >= 2

Passo 10

Parte (d): Calcular a cobrança esperada $ \mathbf{E}(h(X)) $, onde $ h(X) = X^2 $.
A expectativa $ \mathbf{E}(h(X)) $ é a média ponderada de $ h(X) $ em relação à densidade de probabilidade $ f(x) $. Para isso, integramos $ h(x) \times f(x) $ sobre todo o domínio de $ X $.

Passo 11

Como $ f(x) $ é diferente de zero apenas entre 0 e 2, a expectativa é:
f(x)

Passo 12

Calculando a integral:
12 [ x^44 ]0^2 = 12 ( 164 - 0 ) = 12 cdot 4 = 2

Resposta

(a) $ \mathbf{P}(0,5 \leq X \leq 1) = \frac{3}{16} $
(b) A duração é aproximadamente $ 1,414 $ unidades de tempo.
© A função densidade de probabilidade é:
P(0,5 <= X <= 1) = 316
(d) A cobrança esperada $ \mathbf{E}(h(X)) = 2 $

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