Dizemos que uma variável aleatória
têm distribuição uniforme no intervalo
se,
Denotamos essa variável por
(a) Determine
e esboce seu gráfico.
(b) Calcule
e
.
© Determine o percentil
.
(a) Determine
(b) Calcule
© Determine o percentil
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma variável aleatória $ X $ que segue uma distribuição uniforme no intervalo
, ou seja, $ X \sim \mathrm{U}(a, b) $. O exercício pede para a gente:
a) Determinar a função de distribuição acumulada $ F_X $ e esboçar seu gráfico.
b) Calcular a esperança $ \mathbf{E}(X) $ e a variância $ \mathbf{V}(X) $.
c) Encontrar o percentil de 10%.
Vamos precisar lembrar alguns conceitos básicos de distribuição uniforme e como calcular suas propriedades.
Passo 2
Parte (a): Determinar $ F_X $ e esboçar seu gráfico
A função de distribuição acumulada (CDF) $ F_X(x) $ nos dá a probabilidade de $ X $ ser menor ou igual a um valor específico $ x $. Para a distribuição uniforme, a CDF é linear entre $ a $ e $ b $.
A CDF é definida da seguinte forma:
Explicando a fórmula:
- Para valores menores que $ a $, a probabilidade acumulada é 0 porque $ X $ nunca é menor que $ a $ nessa distribuição.
- Entre $ a $ e $ b $, a CDF aumenta linearmente, já que a densidade é constante.
- Para valores maiores que $ b $, a probabilidade acumulada é 1.
Esboço do gráfico:
O gráfico da CDF será uma linha horizontal em 0 para $ x < a $, uma reta com inclinação $ \frac{1}{b - a} $ entre $ a $ e $ b $, e uma linha horizontal em 1 para $ x > b $.
O gráfico da CDF será uma linha horizontal em 0 para $ x < a $, uma reta com inclinação $ \frac{1}{b - a} $ entre $ a $ e $ b $, e uma linha horizontal em 1 para $ x > b $.
Passo 3
Parte (b): Calcular $ \mathbf{E}(X) $ e $ \mathbf{V}(X) $
Esperança $ \mathbf{E}(X) $:
A esperança (ou valor esperado) de uma distribuição uniforme $ \mathrm{U}(a, b) $ é a média dos limites:
Variância $ \mathbf{V}(X) $:
A variância mede a dispersão dos valores em torno da esperança e, para a distribuição uniforme, é dada por:
Explicando as fórmulas:
- A esperança é simplesmente o ponto médio entre $ a $ e $ b $.
- A variância depende do quadrado da diferença entre $ b $ e $ a $, dividida por 12, que ajusta a dispersão para a distribuição uniforme.
Passo 4
Parte ©: Determinar o percentil de 10%
O percentil de 10% ($ P_{10} $) é o valor abaixo do qual 10% dos dados se encontram. Para encontrar esse percentil na distribuição uniforme, usamos a CDF.
Queremos encontrar $ x $ tal que $ F_X(x) = 0,10 $:
Resolvendo para $ x $:
Então, o percentil de 10% é:
Resposta
a) A função de distribuição acumulada $ F_X(x) $ é:
b) A esperança e a variância são:
c) O percentil de 10% é: