(Devore e Cordeiro, 2014) Seja
a quantidade de tempo que um livro retirado num sistema de
Obtenha a função densidade de probabilidade dessa variável.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a função densidade de probabilidade (PDF) de uma variável aleatória $ X $ cujo função de distribuição acumulada (CDF) $ F(x) $ está definida da seguinte forma:
Vamos precisar usar o conceito de que a PDF é a derivada da CDF.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de um conceito importante: a função densidade de probabilidade (PDF) é a derivada da função de distribuição acumulada (CDF). Ou seja, se você tiver a CDF $ F(x) $, a PDF $ f(x) $ é dada por:
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa ideia à função $ F(x) $ que temos. A função está definida por partes, então precisamos derivar cada parte separadamente.
- Para $ x < 0 $:
A derivada de uma constante (no caso, 0) é zero:
- Para $ 0 \leq x < 2 $:
Vamos derivar em relação a $ x $:
- Para $ x \geq 2 $:
Novamente, a derivada de uma constante é zero:
Passo 4
Agora, juntando todas as partes, a função densidade de probabilidade $ f(x) $ fica assim:
Resposta
A função densidade de probabilidade de $ X $ é: