(Devore e Cordeiro, 2014) Seja X a quantidade de tempo que um livro retirado num sistema de F(x)= 0 & x<0 x^24 & 0 <= x<2 1 & x >= 2
Obtenha a função densidade de probabilidade dessa variável.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a função densidade de probabilidade (PDF) de uma variável aleatória $ X $ cujo função de distribuição acumulada (CDF) $ F(x) $ está definida da seguinte forma:
X
Vamos precisar usar o conceito de que a PDF é a derivada da CDF.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de um conceito importante: a função densidade de probabilidade (PDF) é a derivada da função de distribuição acumulada (CDF). Ou seja, se você tiver a CDF $ F(x) $, a PDF $ f(x) $ é dada por:
F(x)

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa ideia à função $ F(x) $ que temos. A função está definida por partes, então precisamos derivar cada parte separadamente.
  1. Para $ x < 0 $:
F(x)
A derivada de uma constante (no caso, 0) é zero:
x < 0
  1. Para $ 0 \leq x < 2 $:
F(x) = 0
Vamos derivar em relação a $ x $:
f(x) = 0
  1. Para $ x \geq 2 $:
0 <= x < 2
Novamente, a derivada de uma constante é zero:
F(x) = x^24

Passo 4

Agora, juntando todas as partes, a função densidade de probabilidade $ f(x) $ fica assim:
f(x)

Resposta

A função densidade de probabilidade de $ X $ é:
X

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