A tabela que se segue contém os resultados das avaliações dos estudantes antes do curso e após a conclusão deste.
Número do estudante 1234567891011
Nota antes 6445357655684957826151
Nota depois 7260598087786763967268
a) Utilize o teste t pareado para investigar o aumento de nota devido à conclusão do curso. Teste a hipótese nula H0: mud=mu antes -mu depois =0 contra H1: mud<0 usando alpha=0,1.
O parâmetro de interesse é a diferença em peso médio, mud, em que di= peso antes - peso depois.
H0: mud=0 versus H1: mud<0.
Rejeita-se a hipótese nula se t0< . Encontre a estatística de teste.
b) Calcule um intervalo de confiança unilateral que possa ser utilizado para responder à questão do item (a).

Passo 1

Então, temos um exercício que envolve comparar as notas dos estudantes antes e depois de um curso para verificar se houve um aumento nas notas após a conclusão do curso. A matéria que vamos usar aqui é o teste t pareado, que é útil para comparar as médias de dois conjuntos de dados relacionados. Para resolver isso, vamos precisar calcular a diferença entre as notas antes e depois de cada estudante, encontrar a média dessas diferenças, o desvio padrão e, por fim, a estatística do teste t.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados. Temos 21 estudantes com suas respectivas notas antes e depois do curso:
  • Notas antes: 6, 4, 4, 5, 3, 5, 7, 6, 5, 6, 8, 4, 9, 5, 7, 8, 2, 6, 1, 5, 1
  • Notas depois: 7, 2, 6, 0, 5, 9, 8, 0, 8, 7, 7, 8, 6, 7, 6, 3, 9, 6, 7, 2, 6, 8
Vamos calcular a diferença $ d_i = $ nota antes $ - $ nota depois para cada estudante.

Passo 3

Aqui estão as diferenças para cada estudante:
Estudante Nota Antes Nota Depois Diferença $ d_i $
1 6 7 -1
2 4 2 2
3 4 6 -2
4 5 0 5
5 3 5 -2
6 5 9 -4
7 7 8 -1
8 6 0 6
9 5 8 -3
10 6 7 -1
11 8 7 1
12 4 8 -4
13 9 6 3
14 5 7 -2
15 7 6 1
16 8 3 5
17 2 9 -7
18 6 6 0
19 1 7 -6
20 5 2 3
21 1 6 -5

Passo 4

Agora, vamos calcular a média das diferenças ($ \bar{d} $). Somamos todas as diferenças e dividimos pelo número de estudantes.
bard

Passo 5

Vamos calcular o desvio padrão das diferenças ($ s_d $). Primeiro, calculamos cada $ (d_i - \bar{d})^2 $, somamos todos esses valores, dividimos por $ n - 1 $ e, por fim, tiramos a raiz quadrada.
Calculando cada $ (d_i - \bar{d})^2 $:
sd
Somando todos esses valores:
(di - bard)^2
Agora, calculamos o desvio padrão:
n - 1

Passo 6

Agora, vamos calcular a estatística do teste t:
t = bard - 0sd / raizn = -0,5713,294 / raiz21 approx -0,5710,719 approx -0,795

Passo 7

Precisamos comparar o valor de $ t $ calculado com o valor crítico da distribuição t para $ n - 1 = 20 $ graus de liberdade e nível de significância $ \alpha = 0,1 $ para um teste unilateral à esquerda.
Consultando a tabela t, para df = 20 e $ \alpha = 0,1 $, o valor crítico $ t_{0,1} $ é aproximadamente -1,325.

Passo 8

Agora, verificamos se $ t $ calculado é menor que $ t $ crítico:
t
Como $ -0,795 $ não é menor que $ -1,325 $, não rejeitamos a hipótese nula.

Passo 9

Portanto, com base no teste t pareado, não há evidências suficientes para concluir que houve um aumento significativo nas notas após a conclusão do curso ao nível de significância de 10%.

Resposta

a) A estatística de teste t é aproximadamente -0,795, que não é menor que o valor crítico -1,325. Portanto, não rejeitamos a hipótese nula e concluímos que não há evidências suficientes para afirmar que houve um aumento significativo nas notas após o curso.
b) O intervalo de confiança unilateral de 90% para a diferença média $ \mu_d $ é dado por:
mud
Substituindo os valores:
bard + talpha, df cdot sdraizn
Portanto, o intervalo de confiança unilateral é:
-0,571 + (-1,325) cdot 3,294raiz21 approx -0,571 - 1,325 cdot 0,719 approx -0,571 - 0,952 approx -1,523
Isso reforça a conclusão do item (a) de que não há evidências suficientes para afirmar um aumento significativo nas notas.

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