A tabela que se segue contém os resultados das avaliações dos estudantes antes do curso e após a conclusão deste.
Número do estudante 1234567891011
Nota antes 6445357655684957826151
Nota depois 7260598087786763967268
a) Utilize o teste t pareado para investigar o aumento de nota devido à conclusão do curso. Teste a hipótese nula
contra
usando
.
O parâmetro de interesse é a diferença em peso médio,
, em que
peso antes - peso depois.
versus
.
Rejeita-se a hipótese nula se
. Encontre a estatística de teste.
b) Calcule um intervalo de confiança unilateral que possa ser utilizado para responder à questão do item (a).
Número do estudante 1234567891011
Nota antes 6445357655684957826151
Nota depois 7260598087786763967268
a) Utilize o teste t pareado para investigar o aumento de nota devido à conclusão do curso. Teste a hipótese nula
O parâmetro de interesse é a diferença em peso médio,
Rejeita-se a hipótese nula se
b) Calcule um intervalo de confiança unilateral que possa ser utilizado para responder à questão do item (a).
Passo 1
Então, temos um exercício que envolve comparar as notas dos estudantes antes e depois de um curso para verificar se houve um aumento nas notas após a conclusão do curso. A matéria que vamos usar aqui é o teste t pareado, que é útil para comparar as médias de dois conjuntos de dados relacionados. Para resolver isso, vamos precisar calcular a diferença entre as notas antes e depois de cada estudante, encontrar a média dessas diferenças, o desvio padrão e, por fim, a estatística do teste t.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os dados. Temos 21 estudantes com suas respectivas notas antes e depois do curso:
- Notas antes: 6, 4, 4, 5, 3, 5, 7, 6, 5, 6, 8, 4, 9, 5, 7, 8, 2, 6, 1, 5, 1
- Notas depois: 7, 2, 6, 0, 5, 9, 8, 0, 8, 7, 7, 8, 6, 7, 6, 3, 9, 6, 7, 2, 6, 8
Vamos calcular a diferença $ d_i = $ nota antes $ - $ nota depois para cada estudante.
Passo 3
Aqui estão as diferenças para cada estudante:
Estudante | Nota Antes | Nota Depois | Diferença $ d_i $ |
---|---|---|---|
1 | 6 | 7 | -1 |
2 | 4 | 2 | 2 |
3 | 4 | 6 | -2 |
4 | 5 | 0 | 5 |
5 | 3 | 5 | -2 |
6 | 5 | 9 | -4 |
7 | 7 | 8 | -1 |
8 | 6 | 0 | 6 |
9 | 5 | 8 | -3 |
10 | 6 | 7 | -1 |
11 | 8 | 7 | 1 |
12 | 4 | 8 | -4 |
13 | 9 | 6 | 3 |
14 | 5 | 7 | -2 |
15 | 7 | 6 | 1 |
16 | 8 | 3 | 5 |
17 | 2 | 9 | -7 |
18 | 6 | 6 | 0 |
19 | 1 | 7 | -6 |
20 | 5 | 2 | 3 |
21 | 1 | 6 | -5 |
Passo 4
Agora, vamos calcular a média das diferenças ($ \bar{d} $). Somamos todas as diferenças e dividimos pelo número de estudantes.
Passo 5
Vamos calcular o desvio padrão das diferenças ($ s_d $). Primeiro, calculamos cada $ (d_i - \bar{d})^2 $, somamos todos esses valores, dividimos por $ n - 1 $ e, por fim, tiramos a raiz quadrada.
Calculando cada $ (d_i - \bar{d})^2 $:
Somando todos esses valores:
Agora, calculamos o desvio padrão:
Passo 6
Agora, vamos calcular a estatística do teste t:
Passo 7
Precisamos comparar o valor de $ t $ calculado com o valor crítico da distribuição t para $ n - 1 = 20 $ graus de liberdade e nível de significância $ \alpha = 0,1 $ para um teste unilateral à esquerda.
Consultando a tabela t, para df = 20 e $ \alpha = 0,1 $, o valor crítico $ t_{0,1} $ é aproximadamente -1,325.
Passo 8
Agora, verificamos se $ t $ calculado é menor que $ t $ crítico:
Como $ -0,795 $ não é menor que $ -1,325 $, não rejeitamos a hipótese nula.
Passo 9
Portanto, com base no teste t pareado, não há evidências suficientes para concluir que houve um aumento significativo nas notas após a conclusão do curso ao nível de significância de 10%.
Resposta
a) A estatística de teste t é aproximadamente -0,795, que não é menor que o valor crítico -1,325. Portanto, não rejeitamos a hipótese nula e concluímos que não há evidências suficientes para afirmar que houve um aumento significativo nas notas após o curso.
b) O intervalo de confiança unilateral de 90% para a diferença média $ \mu_d $ é dado por:
Substituindo os valores:
Portanto, o intervalo de confiança unilateral é:
Isso reforça a conclusão do item (a) de que não há evidências suficientes para afirmar um aumento significativo nas notas.