O diâmetro
de rolamentos esféricos produzidos por uma fábrica tem distribuição
;
). O lucro
de cada rolamento depende de seu diâmetro. Assim,
, se o rolamento for bom
;
, se o rolamento for recuperável
ou
;
, se o rolamento for defeituoso
ou
).
Calcule:
(b)
.
Calcule:
(b)
Passo 1
Então, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um diâmetro $ X $ de rolamentos que segue uma distribuição normal com média $ \mu = 0,6140 $ e desvio padrão $ \sigma = 0,0025 $. O lucro $ T $ que a fábrica obtém depende de $ X $ e pode ser bom, recuperável ou defeituoso, com valores de $ T $ determinados por intervalos específicos de $ X $. Nosso objetivo aqui é calcular o valor esperado do lucro, $ E(T) $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o valor esperado $ E(T) $. Ele representa, em média, quanto a fábrica espera lucrar por rolamento produzido. Para calcular isso, precisamos multiplicar cada possível valor de lucro pelo respectivo risco de ocorrer e somar tudo isso. Matematicamente, fica assim:
Passo 3
Agora, vamos identificar os diferentes valores de $ T $ e os intervalos de $ X $ correspondentes:
- Bom: $ T = 0,10 $ quando $ 0,610 < X < 0,618 $
- Recuperável: $ T = 0,05 $ quando $ 0,608 < X < 0,610 $ ou $ 0,618 < X < 0,620 $
- Defeituoso: $ T = -0,10 $ quando $ X < 0,608 $ ou $ X > 0,620 $
Passo 4
Vamos calcular agora as probabilidades de cada intervalo usando a distribuição normal. Para isso, precisamos padronizar os valores de $ X $ utilizando a fórmula do escore z:
Onde $ \mu = 0,6140 $ e $ \sigma = 0,0025 $.
Passo 5
Vamos calcular os valores de z para cada limite dos intervalos:
- Para $ X = 0,608 $:
- Para $ X = 0,610 $:
- Para $ X = 0,618 $:
- Para $ X = 0,620 $:
Passo 6
Com esses z-values, podemos usar a tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora para encontrar as probabilidades correspondentes. Vamos chamar $ \Phi(z) $ a função de distribuição acumulada da normal padrão.
- Probabilidade de ser bom ($ 0,610 < X < 0,618 $):
- Probabilidade de ser recuperável ($ 0,608 < X < 0,610 $ ou $ 0,618 < X < 0,620 $):
- Probabilidade de ser defeituoso:
Passo 7
Vamos buscar os valores de $ \Phi(z) $:
- $ \Phi(1,6) \approx 0,9452 $
- $ \Phi(-1,6) = 1 - \Phi(1,6) \approx 1 - 0,9452 = 0,0548 $
- $ \Phi(2,4) \approx 0,9918 $
- $ \Phi(-2,4) = 1 - \Phi(2,4) \approx 1 - 0,9918 = 0,0082 $
Passo 8
Agora, substituímos os valores na equação das probabilidades:
- Probabilidade de ser bom:
- Probabilidade de ser recuperável:
- Probabilidade de ser defeituoso:
Passo 9
Agora que temos todas as probabilidades, podemos calcular o valor esperado $ E(T) $:
Calculando cada termo:
Resposta
Somando tudo:
Portanto, o valor esperado do lucro por rolamento é aproximadamente $ E(T) = 0,092 $ reais.