O diâmetro X de rolamentos esféricos produzidos por uma fábrica tem distribuição N(0,6140; (0,0025)^2). O lucro T de cada rolamento depende de seu diâmetro. Assim, T=0,10, se o rolamento for bom (0,610;
T=0,05, se o rolamento for recuperável (0,608 ou (0,618; T=-0,10, se o rolamento for defeituoso (X<0,608 ou X>0,620).
Calcule:
(b) E(T).

Passo 1

Então, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um diâmetro $ X $ de rolamentos que segue uma distribuição normal com média $ \mu = 0,6140 $ e desvio padrão $ \sigma = 0,0025 $. O lucro $ T $ que a fábrica obtém depende de $ X $ e pode ser bom, recuperável ou defeituoso, com valores de $ T $ determinados por intervalos específicos de $ X $. Nosso objetivo aqui é calcular o valor esperado do lucro, $ E(T) $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o valor esperado $ E(T) $. Ele representa, em média, quanto a fábrica espera lucrar por rolamento produzido. Para calcular isso, precisamos multiplicar cada possível valor de lucro pelo respectivo risco de ocorrer e somar tudo isso. Matematicamente, fica assim:
E(T) áá

Passo 3

Agora, vamos identificar os diferentes valores de $ T $ e os intervalos de $ X $ correspondentes:
  • Bom: $ T = 0,10 $ quando $ 0,610 < X < 0,618 $
  • Recuperável: $ T = 0,05 $ quando $ 0,608 < X < 0,610 $ ou $ 0,618 < X < 0,620 $
  • Defeituoso: $ T = -0,10 $ quando $ X < 0,608 $ ou $ X > 0,620 $

Passo 4

Vamos calcular agora as probabilidades de cada intervalo usando a distribuição normal. Para isso, precisamos padronizar os valores de $ X $ utilizando a fórmula do escore z:
X
Onde $ \mu = 0,6140 $ e $ \sigma = 0,0025 $.

Passo 5

Vamos calcular os valores de z para cada limite dos intervalos:
  • Para $ X = 0,608 $:
X = 0,608
  • Para $ X = 0,610 $:
z = 0,608 - 0,61400,0025 = -0,0060,0025 = -2,4
  • Para $ X = 0,618 $:
X = 0,610
  • Para $ X = 0,620 $:
z = 0,610 - 0,61400,0025 = -0,0040,0025 = -1,6

Passo 6

Com esses z-values, podemos usar a tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora para encontrar as probabilidades correspondentes. Vamos chamar $ \Phi(z) $ a função de distribuição acumulada da normal padrão.
  • Probabilidade de ser bom ($ 0,610 < X < 0,618 $):
Phi(z)
  • Probabilidade de ser recuperável ($ 0,608 < X < 0,610 $ ou $ 0,618 < X < 0,620 $):
0,610 < X < 0,618 á
  • Probabilidade de ser defeituoso:
Pbom = Phi(1,6) - Phi(-1,6) á

Passo 7

Vamos buscar os valores de $ \Phi(z) $:
  • $ \Phi(1,6) \approx 0,9452 $
  • $ \Phi(-1,6) = 1 - \Phi(1,6) \approx 1 - 0,9452 = 0,0548 $
  • $ \Phi(2,4) \approx 0,9918 $
  • $ \Phi(-2,4) = 1 - \Phi(2,4) \approx 1 - 0,9918 = 0,0082 $

Passo 8

Agora, substituímos os valores na equação das probabilidades:
  • Probabilidade de ser bom:
Pbom = 0,9452 - 0,0548 = 0,8904
  • Probabilidade de ser recuperável:
Precuperável = (0,0548 - 0,0082) + (0,9918 - 0,9452) = 0,0466 + 0,0466 = 0,0932 á
  • Probabilidade de ser defeituoso:
Pdefeituoso = 1 - (0,8904 + 0,0932) = 1 - 0,9836 = 0,0164

Passo 9

Agora que temos todas as probabilidades, podemos calcular o valor esperado $ E(T) $:
E(T)
Calculando cada termo:
E(T) = (0,10 times 0,8904) + (0,05 times 0,0932) + (-0,10 times 0,0164)
0,10 times 0,8904 = 0,08904
0,05 times 0,0932 = 0,00466

Resposta

Somando tudo:
E(T) = 0,08904 + 0,00466 - 0,00164 = 0,09206
Portanto, o valor esperado do lucro por rolamento é aproximadamente $ E(T) = 0,092 $ reais.

Exercícios relacionados