Os diâmetros de entrada e saída de uma canalização circular de volume interno igual a 0,1 m³ são, respectivamente, 400 mm e 200 mm . O escoamento começa horizontalmente na canalização, sendo depois defletido com um ângulo de 45^circ para baixo. Devido a esta curvatura no plano vertical, a saída possui um desnível de 0,9 m relativo à entrada. Desprezando o atrito, calcule a força que exerce sobre as paredes do tubo um escoamento de água com pressão relativa na entrada de 110 kPa e vazão de 0,15 m^3 / s.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o problema está pedindo. Temos uma canalização circular com volume interno de 0,1 m³. O diâmetro de entrada é de 400 mm e o de saída é de 200 mm. A água começa a fluir horizontalmente, depois faz uma curva de 45 graus para baixo, resultando em um desnível de 0,9 m entre a entrada e a saída. A pressão relativa na entrada é de 110 kPa e a vazão da água é de 0,15 m³/s. Nosso objetivo é calcular a força que a água exerce nas paredes do tubo, considerando que não há atrito. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de Mecânica dos Fluidos, especificamente a equação da quantidade de movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos converter os diâmetros de entrada e saída de milímetros para metros para facilitar os cálculos:
  • Diâmetro de entrada, $ D_1 = 400 , mm = 0,4 , m $
  • Diâmetro de saída, $ D_2 = 200 , mm = 0,2 , m $

Passo 3

Agora, vamos calcular as áreas das seções transversais na entrada e na saída usando a fórmula da área do círculo:
A = pi D^24
Então:
A1 = pi (0,4)^24 = pi times 0,164 = 0,16pi4 = 0,04pi , m² ²
A2 = pi (0,2)^24 = pi times 0,044 = 0,04pi4 = 0,01pi , m² ²

Passo 4

Sabemos que a vazão $ Q $ é de 0,15 m³/s. A vazão também é igual à área multiplicada pela velocidade ($ Q = A \times v $). Vamos encontrar as velocidades de entrada e saída:
Para a entrada:
Q
Para a saída:
Q = A times v

Passo 5

Vamos calcular a massa de água que está fluindo por segundo. A massa de fluxo é dada por:
dotm = rho Q
Onde $ \rho $ é a densidade da água, aproximadamente $ 1000 , kg/m³ $:
rho

Passo 6

A força total que a água exerce nas paredes do tubo pode ser calculada usando a equação da quantidade de movimento:
F = dotm (v2 - v1) + (P2 - P1) A
Como não há atrito e a saída está sendo defletida para baixo, devemos considerar a variação de momento e a diferença de pressão. Como a pressão de saída $ P_2 $ é atmosférica e a pressão de entrada $ P_1 $ é 110 kPa, temos:
P2
Onde $ \hat{y} $ representa a direção vertical.

Passo 7

Vamos decompor a velocidade de saída nas direções horizontal e vertical. Como a deflexão é de 45°, temos:
v2x = v2 cos(45°) = 4,77 times raiz22 approx 3,37 , m/s
v2y = v2 sin(45°) = 4,77 times raiz22 approx 3,37 , m/s
Como o fluxo na entrada é horizontal, $ v_{1y} = 0 $.

Passo 8

Agora, calculamos a mudança na quantidade de movimento:
Para a direção horizontal:
Fx = dotm (v2x - v1) = 150 (3,37 - 1,19) = 150 times 2,18 = 327 , N
Para a direção vertical:
Fy = dotm (v2y - 0) = 150 times 3,37 = 506 , N

Passo 9

Além disso, temos a força devido à diferença de pressão na entrada:
Fp = P1 A1 = 110 times 10^3 times 0,04 pi approx 110000 times 0,1256 = 13816 , N
Essa força atua na direção vertical para baixo.

Passo 10

Agora, somamos todas as forças na direção vertical:
Fytotal = Fy + Fp = 506 + 13816 = 14322 , N
E a força na direção horizontal permanece $ F_x = 327 , N $.

Resposta

A força total que a água exerce sobre as paredes do tubo é de aproximadamente 327 N na direção horizontal e 14.322 N na direção vertical para baixo.

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