Os diâmetros de entrada e saída de uma canalização circular de volume interno igual a 0,1 m³ são, respectivamente, 400 mm e 200 mm . O escoamento começa horizontalmente na canalização, sendo depois defletido com um ângulo de
para baixo. Devido a esta curvatura no plano vertical, a saída possui um desnível de
relativo à entrada. Desprezando o atrito, calcule a força que exerce sobre as paredes do tubo um escoamento de água com pressão relativa na entrada de 110 kPa e vazão de
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o problema está pedindo. Temos uma canalização circular com volume interno de 0,1 m³. O diâmetro de entrada é de 400 mm e o de saída é de 200 mm. A água começa a fluir horizontalmente, depois faz uma curva de 45 graus para baixo, resultando em um desnível de 0,9 m entre a entrada e a saída. A pressão relativa na entrada é de 110 kPa e a vazão da água é de 0,15 m³/s. Nosso objetivo é calcular a força que a água exerce nas paredes do tubo, considerando que não há atrito. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de Mecânica dos Fluidos, especificamente a equação da quantidade de movimento.
Passo 2
Primeiro, vamos converter os diâmetros de entrada e saída de milímetros para metros para facilitar os cálculos:
- Diâmetro de entrada, $ D_1 = 400 , mm = 0,4 , m $
- Diâmetro de saída, $ D_2 = 200 , mm = 0,2 , m $
Passo 3
Agora, vamos calcular as áreas das seções transversais na entrada e na saída usando a fórmula da área do círculo:
Então:
Passo 4
Sabemos que a vazão $ Q $ é de 0,15 m³/s. A vazão também é igual à área multiplicada pela velocidade ($ Q = A \times v $). Vamos encontrar as velocidades de entrada e saída:
Para a entrada:
Para a saída:
Passo 5
Vamos calcular a massa de água que está fluindo por segundo. A massa de fluxo é dada por:
Onde $ \rho $ é a densidade da água, aproximadamente $ 1000 , kg/m³ $:
Passo 6
A força total que a água exerce nas paredes do tubo pode ser calculada usando a equação da quantidade de movimento:
Como não há atrito e a saída está sendo defletida para baixo, devemos considerar a variação de momento e a diferença de pressão. Como a pressão de saída $ P_2 $ é atmosférica e a pressão de entrada $ P_1 $ é 110 kPa, temos:
Onde $ \hat{y} $ representa a direção vertical.
Passo 7
Vamos decompor a velocidade de saída nas direções horizontal e vertical. Como a deflexão é de 45°, temos:
Como o fluxo na entrada é horizontal, $ v_{1y} = 0 $.
Passo 8
Agora, calculamos a mudança na quantidade de movimento:
Para a direção horizontal:
Para a direção vertical:
Passo 9
Além disso, temos a força devido à diferença de pressão na entrada:
Essa força atua na direção vertical para baixo.
Passo 10
Agora, somamos todas as forças na direção vertical:
E a força na direção horizontal permanece $ F_x = 327 , N $.
Resposta
A força total que a água exerce sobre as paredes do tubo é de aproximadamente 327 N na direção horizontal e 14.322 N na direção vertical para baixo.