Calcular o Fator de Correção de Quantidade de Movimento para um perfil parabólico em uma tubulação circular.
Fator de Correção de Quantidade de Movimento (
): fator usado para corrigir o termo
, que fica
.w.
.
Fator de Correção de Quantidade de Movimento (
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o Fator de Correção de Quantidade de Movimento (
) para um perfil parabólico em uma tubulação circular. Esse fator é importante porque ele ajusta o termo relacionado à quantidade de movimento no fluxo. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de cálculo integral e de como funcionam os perfis de velocidade em tubos circulares, especialmente o perfil parabólico que geralmente aparece em fluxos laminares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Fator de Correção de Quantidade de Movimento (
). Ele serve para ajustar o termo
na equação da quantidade de movimento, transformando-o em
. A fórmula dada é:
Aqui,
representa a integral da velocidade ao quadrado sobre toda a área da seção transversal do tubo,
é uma velocidade de referência (geralmente a velocidade na borda ou média), e
é a área da seção transversal.
Passo 3
Como estamos lidando com uma tubulação circular, é mais fácil resolver essa integral usando coordenadas polares. Nesse sistema, um pequeno elemento de área
é dado por
, onde
é a distância do centro e
é o ângulo.
Passo 4
Vamos definir o perfil parabólico de velocidade. Para um fluxo laminar em um tubo circular, a velocidade em função do raio
é geralmente dada por:
Aqui,
é o raio do tubo e
é a velocidade na borda (r = R). Esse perfil mostra que a velocidade é máxima no centro e diminui até zero na borda.
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral
. Substituindo
na expressão:
Passo 6
Vamos simplificar a integral:
Primeiro, resolvemos a integral em
:
Integrando termo a termo:
Simplificando:
Passo 7
Agora, voltamos à integral completa:
Passo 8
Vamos calcular o denominador da expressão de
, que é
. A área
de um tubo circular é:
Portanto:
Passo 9
Finalmente, substituímos as integrais na fórmula do
:
Resposta
O Fator de Correção de Quantidade de Movimento para um perfil parabólico em uma tubulação circular é
.