Calcular o Fator de Correção de Quantidade de Movimento para um perfil parabólico em uma tubulação circular.
Fator de Correção de Quantidade de Movimento ( beta ): fator usado para corrigir o termo w De, que fica beta.w. De.
beta=(integral u^2 d A) /(ub ^2 A)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o Fator de Correção de Quantidade de Movimento ( beta) para um perfil parabólico em uma tubulação circular. Esse fator é importante porque ele ajusta o termo relacionado à quantidade de movimento no fluxo. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de cálculo integral e de como funcionam os perfis de velocidade em tubos circulares, especialmente o perfil parabólico que geralmente aparece em fluxos laminares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Fator de Correção de Quantidade de Movimento ( beta). Ele serve para ajustar o termo w cdot De na equação da quantidade de movimento, transformando-o em beta cdot w cdot De. A fórmula dada é:
beta = integral u^2 cdot dAub^2 cdot A
Aqui, integral u^2 cdot dA representa a integral da velocidade ao quadrado sobre toda a área da seção transversal do tubo, ub é uma velocidade de referência (geralmente a velocidade na borda ou média), e A é a área da seção transversal.

Passo 3

Como estamos lidando com uma tubulação circular, é mais fácil resolver essa integral usando coordenadas polares. Nesse sistema, um pequeno elemento de área dA é dado por r cdot dr cdot dtheta, onde r é a distância do centro e theta é o ângulo.

Passo 4

Vamos definir o perfil parabólico de velocidade. Para um fluxo laminar em um tubo circular, a velocidade em função do raio r é geralmente dada por:
u(r) = ub (1 - (rR)^2)
Aqui, R é o raio do tubo e ub é a velocidade na borda (r = R). Esse perfil mostra que a velocidade é máxima no centro e diminui até zero na borda.

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral integral u^2 cdot dA. Substituindo u(r) na expressão:
integral u^2 cdot dA = integral0^2pi integral0^R [ub (1 - (rR)^2)]^2 r cdot dr cdot dtheta

Passo 6

Vamos simplificar a integral:
integral u^2 cdot dA = ub^2 integral0^2pi integral0^R (1 - 2(rR)^2 + (rR)^4) r cdot dr cdot dtheta
Primeiro, resolvemos a integral em r:
integral0^R (1 - 2(rR)^2 + (rR)^4) r cdot dr = integral0^R (r - 2r^3R^2 + r^5R^4) dr
Integrando termo a termo:
= [r^22 - 2r^44R^2 + r^66R^4]0^R
= R^22 - 2R^44R^2 + R^66R^4
Simplificando:
= R^22 - R^22 + R^26 = R^26

Passo 7

Agora, voltamos à integral completa:
integral u^2 cdot dA = ub^2 cdot 2pi cdot R^26 = pi ub^2 R^23

Passo 8

Vamos calcular o denominador da expressão de beta, que é ub^2 cdot A. A área A de um tubo circular é:
A = pi R^2
Portanto:
ub^2 cdot A = ub^2 cdot pi R^2

Passo 9

Finalmente, substituímos as integrais na fórmula do beta:
beta = pi ub^2 R^23pi ub^2 R^2 = 13

Resposta

O Fator de Correção de Quantidade de Movimento para um perfil parabólico em uma tubulação circular é beta = 13.

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