Um diapasão, acoplado a um fio metálico tencionado, vibra a 440 Hz , com amplitude de oscilação igual a 0.5 mm . O fio tem densidade linear de massa igual a
e está submetido à tensão de 1 kN . (a) Calcular o período e a freqüência das ondas no fio. (b) Qual é a velocidade das ondas? © Quais são o comprimento de onda e o número de onda? (d) Escrever a função de onda apropriada para as ondas no fio. (e) Calcular a velocidade máxima e a aceleração máxima de um ponto no fio.
Qual deve ser a taxa média de fornecimento de energia ao diapasão para mantê-lo oscilando com amplitude constante?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre um diapasão que está conectado a um fio metálico esticado. Ele vibra a 440 Hz com uma amplitude de 0,5 mm. O fio tem uma densidade linear de massa de
e está submetido a uma tensão de 1 kN. Vamos usar conceitos de ondas em fios tensionados para responder às partes (a) até (f).
Passo 2
Parte (a): Calcular o período e a frequência das ondas no fio.
Primeiro, sabemos que a frequência do diapasão é 440 Hz. A frequência (
) das ondas no fio será a mesma, já que o diapasão está excitando o fio.
Para encontrar o período (
), que é o inverso da frequência, usamos a fórmula:
Substituindo
:
Passo 3
Parte (b): Qual é a velocidade das ondas?
A velocidade (
) das ondas em um fio tensionado pode ser calculada usando a fórmula:
Mas antes precisamos achar o comprimento de onda (
). No entanto, para achar
, também podemos usar:
onde
é a tensão e
é a densidade linear de massa.
Dados:
Então:
Passo 4
Parte ©: Quais são o comprimento de onda e o número de onda?
Agora que temos a velocidade (
) e a frequência (
), podemos encontrar o comprimento de onda (
):
O número de onda (
) é dado por:
Substituindo
:
Passo 5
Parte (d): Escrever a função de onda apropriada para as ondas no fio.
A função de onda pode ser expressa como:
onde:
-
é a amplitude (0,5 mm = 0,0005 m) -
é o número de onda ( ) -
é a frequência angular ( )
Então:
Passo 6
Parte (e): Calcular a velocidade máxima e a aceleração máxima de um ponto no fio.
A velocidade de um ponto na onda é a derivada da função de onda em relação ao tempo:
A velocidade máxima (
) ocorre quando
:
A aceleração de um ponto na onda é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
A aceleração máxima (
) ocorre quando
:
Passo 7
Parte (f): Qual deve ser a taxa média de fornecimento de energia ao diapasão para mantê-lo oscilando com amplitude constante?
A energia média (
) fornecida para manter a oscilação constante pode ser relacionada à potência dissipada. Para uma onda em um fio, a potência é dada por:
Substituindo os valores:
Então:
Resposta
A seguir estão as respostas para cada parte do exercício:
a) Período:
Frequência das ondas no fio:
Frequência das ondas no fio:
b) Velocidade das ondas:
c) Comprimento de onda:
Número de onda:
Número de onda:
d) Função de onda:
e) Velocidade máxima:
Aceleração máxima:
Aceleração máxima:
f) Taxa média de fornecimento de energia:
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