Um diapasão, acoplado a um fio metálico tencionado, vibra a 440 Hz , com amplitude de oscilação igual a 0.5 mm . O fio tem densidade linear de massa igual a 0.01 kg / m e está submetido à tensão de 1 kN . (a) Calcular o período e a freqüência das ondas no fio. (b) Qual é a velocidade das ondas? © Quais são o comprimento de onda e o número de onda? (d) Escrever a função de onda apropriada para as ondas no fio. (e) Calcular a velocidade máxima e a aceleração máxima de um ponto no fio. (f) Qual deve ser a taxa média de fornecimento de energia ao diapasão para mantê-lo oscilando com amplitude constante?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre um diapasão que está conectado a um fio metálico esticado. Ele vibra a 440 Hz com uma amplitude de 0,5 mm. O fio tem uma densidade linear de massa de e está submetido a uma tensão de 1 kN. Vamos usar conceitos de ondas em fios tensionados para responder às partes (a) até (f).

Passo 2

Parte (a): Calcular o período e a frequência das ondas no fio.
Primeiro, sabemos que a frequência do diapasão é 440 Hz. A frequência ( T = 1f ) das ondas no fio será a mesma, já que o diapasão está excitando o fio.
Para encontrar o período ( T = 1440 approx 0,00227 , s ), que é o inverso da frequência, usamos a fórmula:
Substituindo :

Passo 3

Parte (b): Qual é a velocidade das ondas?
A velocidade ( v = lambda f ) das ondas em um fio tensionado pode ser calculada usando a fórmula:
v = raizTmu
Mas antes precisamos achar o comprimento de onda ( T = 1000 , N (1 kN) ). No entanto, para achar mu = 0,01 , kg/m , também podemos usar:
v = raiz10000,01 = raiz100000 = 316,23 , m/s
onde é a tensão e é a densidade linear de massa.
Dados:
Então:

Passo 4

Parte ©: Quais são o comprimento de onda e o número de onda?
Agora que temos a velocidade ( lambda = vf = 316,23440 approx 0,7182 , m ) e a frequência ( k = 2pilambda ), podemos encontrar o comprimento de onda ( k approx 2pi0,7182 approx 8,75 , rad/m ):
O número de onda ( ) é dado por:
Substituindo :

Passo 5

Parte (d): Escrever a função de onda apropriada para as ondas no fio.
A função de onda pode ser expressa como:
y(x, t) = A sin(kx - omega t)
onde:
  • y(x, t) = 0,0005 , m cdot sin(8,75x - 2764,6t) é a amplitude (0,5 mm = 0,0005 m)
  • é o número de onda ( )
  • é a frequência angular ( )
Então:

Passo 6

Parte (e): Calcular a velocidade máxima e a aceleração máxima de um ponto no fio.
A velocidade de um ponto na onda é a derivada da função de onda em relação ao tempo:
v(x, t) = partial ypartial t = -A omega cos(kx - omega t)
A velocidade máxima ( vmáx = A omega = 0,0005 times 2764,6 approx 1,3823 , m/s á) ocorre quando a(x, t) = partial vpartial t = -A omega^2 sin(kx - omega t) :
amáx = A omega^2 = 0,0005 times (2764,6)^2 approx 3,824 times 10^3 , m/s^2 á
A aceleração de um ponto na onda é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
A aceleração máxima ( á) ocorre quando :
á

Passo 7

Parte (f): Qual deve ser a taxa média de fornecimento de energia ao diapasão para mantê-lo oscilando com amplitude constante?
A energia média ( P = 12 mu omega^2 A^2 v ) fornecida para manter a oscilação constante pode ser relacionada à potência dissipada. Para uma onda em um fio, a potência é dada por:
mu = 0,01 , kg/m
Substituindo os valores:
omega = 2764,6 , rad/s
A = 0,0005 , m
v = 316,23 , m/s
P = 12 times 0,01 times (2764,6)^2 times (0,0005)^2 times 316,23 approx 6,03 , W
Então:

Resposta

A seguir estão as respostas para cada parte do exercício:
a) Período: y(x, t) = 0,0005 , m cdot sin(8,75x - 2764,6t)
Frequência das ondas no fio:
b) Velocidade das ondas:
c) Comprimento de onda:
Número de onda:
d) Função de onda:
e) Velocidade máxima: á
Aceleração máxima: á
f) Taxa média de fornecimento de energia:

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