Dica: calcule as derivadas laterais pela direita e pela esquerda.
Se
então
. Se
então
. Conclua
Se
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma função
cuja derivada é definida de forma diferente para valores positivos e negativos de
. Especificamente:
- Se
, então . - Se
, então .
A tarefa é concluir algo sobre a derivada da função
. Para isso, vamos usar o conceito de derivadas laterais pela direita e pela esquerda. Isso vai nos ajudar a entender o comportamento da derivada em um ponto específico, que parece ser
nesse caso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são derivadas laterais. A derivada lateral pela direita em um ponto
é o limite da taxa de variação da função quando nos aproximamos de
vindo dos valores maiores que
. Já a derivada lateral pela esquerda é o limite quando nos aproximamos de
vindo dos valores menores que
.
Matematicamente, isso fica assim:
No nosso caso, queremos calcular as derivadas laterais em
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada lateral pela direita em
. Como
implica
, isso significa que para valores de
próximos a 0 pela direita, a inclinação da função é 1.
Portanto,
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada lateral pela esquerda em
. Aqui,
implica
, ou seja, para valores de
próximos a 0 pela esquerda, a inclinação da função é -1.
Assim,
Passo 5
Com as derivadas laterais calculadas, vamos comparar os valores obtidos:
Notamos que as derivadas laterais são diferentes.
Resposta
Como as derivadas laterais em
são diferentes (
e
), concluímos que a função
não é diferenciável em
.