Dica: calcule as derivadas laterais pela direita e pela esquerda.
Se x > 0 então g'(x) = 1. Se x < 0 então g'(x) = -1. Conclua

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma função cuja derivada é definida de forma diferente para valores positivos e negativos de . Especificamente:
  • Se , então .
  • Se , então .
A tarefa é concluir algo sobre a derivada da função . Para isso, vamos usar o conceito de derivadas laterais pela direita e pela esquerda. Isso vai nos ajudar a entender o comportamento da derivada em um ponto específico, que parece ser nesse caso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são derivadas laterais. A derivada lateral pela direita em um ponto é o limite da taxa de variação da função quando nos aproximamos de vindo dos valores maiores que . Já a derivada lateral pela esquerda é o limite quando nos aproximamos de vindo dos valores menores que .
Matematicamente, isso fica assim:
No nosso caso, queremos calcular as derivadas laterais em .

Passo 3

Vamos calcular a derivada lateral pela direita em . Como implica , isso significa que para valores de próximos a 0 pela direita, a inclinação da função é 1.
Portanto,

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada lateral pela esquerda em . Aqui, implica , ou seja, para valores de próximos a 0 pela esquerda, a inclinação da função é -1.
Assim,

Passo 5

Com as derivadas laterais calculadas, vamos comparar os valores obtidos:
Notamos que as derivadas laterais são diferentes.

Resposta

Como as derivadas laterais em são diferentes ( e ), concluímos que a função não é diferenciável em .

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