Seja
.
(a) Escreva a integral
em coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas.
(a) Escreva a integral
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para escrever a integral tripla
em três sistemas de coordenadas diferentes: cartesianas, cilíndricas e esféricas. O conjunto
é definido por todos os pontos
em
que satisfazem
. Para resolver isso, vamos precisar entender como mudar de coordenadas e ajustar os limites de integração em cada sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a integral em coordenadas cartesianas. Nesse sistema, as coordenadas são simplesmente
, e o volume elementar é
. Olhando para o conjunto
, temos que
varia de
até
. Além disso, para que
, precisamos que
, o que descreve um círculo de raio 1 no plano
. Então, os limites para
e
são dentro desse círculo.
Então, a integral em coordenadas cartesianas fica:
Passo 3
Agora, vamos para as coordenadas cilíndricas. Nesse sistema, usamos
, onde
é a distância radial no plano
,
é o ângulo, e
permanece o mesmo. O elemento de volume é
. A condição
se transforma em
.
Além disso, a função que estamos integrando,
, em coordenadas cilíndricas fica
. Os limites ficam:
-
de a -
de a -
de a
Então, a integral em coordenadas cilíndricas é:
Passo 4
Por último, vamos converter para as coordenadas esféricas. Nesse sistema, usamos
, onde
é a distância do ponto à origem,
é o ângulo com o eixo
, e
é o ângulo no plano
. O elemento de volume é
.
Para descrever o conjunto
, é um pouco mais complicado, mas percebemos que a superfície
pode ser reescrita em coordenadas esféricas. Após simplificar, os limites serão:
-
de a onde as duas superfícies se encontram. -
de a , já que . -
de a
A função
em coordenadas esféricas fica
. Portanto, a integral em coordenadas esféricas é:
Resposta
A integral
em:
- Coordenadas cartesianas:
- Coordenadas cilíndricas:
- Coordenadas esféricas: