Seja B=(x, y, z) in R^3 ; 0 <= z <= 1-x^2-y^2.
(a) Escreva a integral integral triplaB x y z d V em coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para escrever a integral tripla integral triplaB xyz , dV em três sistemas de coordenadas diferentes: cartesianas, cilíndricas e esféricas. O conjunto B é definido por todos os pontos (x, y, z) em R^3 que satisfazem 0 <= z <= 1 - x^2 - y^2. Para resolver isso, vamos precisar entender como mudar de coordenadas e ajustar os limites de integração em cada sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a integral em coordenadas cartesianas. Nesse sistema, as coordenadas são simplesmente (x, y, z), e o volume elementar é dV = dx , dy , dz. Olhando para o conjunto B, temos que z varia de 0 até 1 - x^2 - y^2. Além disso, para que 1 - x^2 - y^2 >= 0, precisamos que x^2 + y^2 <= 1, o que descreve um círculo de raio 1 no plano xy. Então, os limites para x e y são dentro desse círculo.
Então, a integral em coordenadas cartesianas fica:
integral triplaB xyz , dV = integral-1^1 integral-raiz1 - x^2^raiz1 - x^2 integral0^1 - x^2 - y^2 x y z , dz , dy , dx

Passo 3

Agora, vamos para as coordenadas cilíndricas. Nesse sistema, usamos (r, theta, z), onde r é a distância radial no plano xy, theta é o ângulo, e z permanece o mesmo. O elemento de volume é dV = r , dr , dtheta , dz. A condição x^2 + y^2 <= 1 se transforma em r <= 1.
Além disso, a função que estamos integrando, x y z, em coordenadas cilíndricas fica r costheta cdot r sintheta cdot z = r^2 costheta sintheta cdot z. Os limites ficam:
  • r de 0 a 1
  • theta de 0 a 2pi
  • z de 0 a 1 - r^2
Então, a integral em coordenadas cilíndricas é:
integral triplaB xyz , dV = integral0^2pi integral0^1 integral0^1 - r^2 r^2 costheta sintheta cdot z , dz , dr , dtheta

Passo 4

Por último, vamos converter para as coordenadas esféricas. Nesse sistema, usamos (rho, phi, theta), onde rho é a distância do ponto à origem, phi é o ângulo com o eixo z, e theta é o ângulo no plano xy. O elemento de volume é dV = rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta.
Para descrever o conjunto B, é um pouco mais complicado, mas percebemos que a superfície z = 1 - x^2 - y^2 pode ser reescrita em coordenadas esféricas. Após simplificar, os limites serão:
  • rho de 0 a onde as duas superfícies se encontram.
  • phi de 0 a pi/2, já que z >= 0.
  • theta de 0 a 2pi
A função xyz em coordenadas esféricas fica (rho sinphi costheta)(rho sinphi sintheta)(rho cosphi) = rho^3 sin^2phi costheta sintheta cosphi. Portanto, a integral em coordenadas esféricas é:

Resposta

A integral integral triplaB xyz , dV em:
  • Coordenadas cartesianas:
integral-1^1 integral-raiz1 - x^2^raiz1 - x^2 integral0^1 - x^2 - y^2 x y z , dz , dy , dx
  • Coordenadas cilíndricas:
integral0^2pi integral0^1 integral0^1 - r^2 r^2 costheta sintheta cdot z , dz , dr , dtheta
  • Coordenadas esféricas:

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