Calcule a área do conjunto no primeiro quadrante limitada pelas retas e e hipérboles e Resp.:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse probleminha juntos! A gente precisa encontrar a área da região no primeiro quadrante que é limitada pelas retas e , e pelas hipérboles e . Para isso, vamos usar um pouco de geometria analítica e integração. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor as curvas que estão delimitando a região . As retas e são linhas que passam pela origem e se inclinam com diferentes inclinações. As hipérboles e são curvas que também ficam no primeiro e terceiro quadrantes.
Passo 3
Vamos identificar os pontos de interseção dessas curvas para saber os limites de integração. Precisamos achar onde e se encontram, e fazer o mesmo para as outras combinações.
Passo 4
Primeiro, vamos encontrar a interseção de com :
Então, . O ponto é .
Passo 5
Agora, a interseção de com :
Então, . O ponto é .
Passo 6
Vamos fazer o mesmo para com as hipérboles. Primeiro com :
Então, . O ponto é .
Passo 7
E por fim, com :
Então, . O ponto é .
Passo 8
Agora que temos todos os pontos de interseção, podemos visualizar a região . Ela está limitada entre e , e entre as retas e , com variando de 1 a 2.
Passo 9
Para calcular a área, vamos usar integração. Como a região está entre e , e entre as linhas e , podemos expressar em termos de e integrar.
Mas uma forma mais fácil é mudar para coordenadas onde e , transformando a integral. Isso simplifica os limites e a função a ser integrada.
Passo 10
Calculando o jacobiano da transformação:
As derivadas parciais são:
O determinante do jacobiano é:
Mas como , então .
Passo 11
Agora, ajustamos a integral com os novos limites. Quando a , então vai de 1 a 2. Quando a , então vai de 1 a 2.
A integral fica:
Á
Passo 12
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Como a integral externa é sobre uma constante, multiplicamos por de 1 a 2, mas na verdade, a integral final já está correta.