Calcule a área do conjunto R no primeiro quadrante limitada pelas retas y = x e y = 2 x e hipérboles x y = 1 e x y = 2 Resp.: 1/2 ln(2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse probleminha juntos! A gente precisa encontrar a área da região no primeiro quadrante que é limitada pelas retas e , e pelas hipérboles e . Para isso, vamos usar um pouco de geometria analítica e integração. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor as curvas que estão delimitando a região . As retas e são linhas que passam pela origem e se inclinam com diferentes inclinações. As hipérboles e são curvas que também ficam no primeiro e terceiro quadrantes.

Passo 3

Vamos identificar os pontos de interseção dessas curvas para saber os limites de integração. Precisamos achar onde e se encontram, e fazer o mesmo para as outras combinações.

Passo 4

Primeiro, vamos encontrar a interseção de com :
Então, . O ponto é .

Passo 5

Agora, a interseção de com :
Então, . O ponto é .

Passo 6

Vamos fazer o mesmo para com as hipérboles. Primeiro com :
Então, . O ponto é .

Passo 7

E por fim, com :
Então, . O ponto é .

Passo 8

Agora que temos todos os pontos de interseção, podemos visualizar a região . Ela está limitada entre e , e entre as retas e , com variando de 1 a 2.

Passo 9

Para calcular a área, vamos usar integração. Como a região está entre e , e entre as linhas e , podemos expressar em termos de e integrar.
Mas uma forma mais fácil é mudar para coordenadas onde e , transformando a integral. Isso simplifica os limites e a função a ser integrada.

Passo 10

Calculando o jacobiano da transformação:
As derivadas parciais são:
O determinante do jacobiano é:
Mas como , então .

Passo 11

Agora, ajustamos a integral com os novos limites. Quando a , então vai de 1 a 2. Quando a , então vai de 1 a 2.
A integral fica:
Á

Passo 12

Vamos resolver a integral interna primeiro:
Como a integral externa é sobre uma constante, multiplicamos por de 1 a 2, mas na verdade, a integral final já está correta.

Resposta

A área do conjunto é .

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